ფერადი კვადრატები და მზის დაბნელება

სტატიაში აღწერილია ჩემი გაკვეთილები საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის - ბავშვთა ეროვნული ფონდის სტიპენდიანტებისთვის. ფონდი ეძებს განსაკუთრებით ნიჭიერ ბავშვებს და ახალგაზრდებს (დაწყებითი სკოლის XNUMX კლასიდან საშუალო სკოლამდე) და სთავაზობს "სტიპენდიას" შერჩეულ მოსწავლეებს. ამასთან, ისინი საერთოდ არ მოიცავს ფულადი სახსრების ამოღებას, არამედ ნიჭის განვითარების ყოვლისმომცველ ზრუნვას, როგორც წესი, მრავალი წლის განმავლობაში. ამ ტიპის მრავალი სხვა პროექტისგან განსხვავებით, ცნობილი მეცნიერები, კულტურის მოღვაწეები, გამოჩენილი ჰუმანისტები და სხვა ბრძენი ადამიანები, ისევე როგორც ზოგიერთი პოლიტიკოსი, სერიოზულად ეკიდება ფონდის პალატებს.

ფონდის საქმიანობა ვრცელდება ყველა დისციპლინაზე, რომელიც არის სასკოლო საგნები, გარდა სპორტის, მათ შორის ხელოვნებისა. ფონდი მაშინდელი რეალობის საწინააღმდეგოდ 1983 წელს შეიქმნა. ფონდს შეუძლია მიმართოს ნებისმიერ მსურველს (ჩვეულებრივ, სკოლის მეშვეობით, სასურველია სასწავლო წლის დასრულებამდე), მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის გარკვეული საცერი, გარკვეული საკვალიფიკაციო პროცედურა.

როგორც უკვე აღვნიშნე, სტატია ეფუძნება ჩემს მასტერკლასებს, კონკრეტულად გდინიაში, 2016 წლის მარტში, III საშუალო სკოლის 24-ე უმცროსი საშუალო სკოლაში. საზღვაო ძალები. მრავალი წელია, ეს სემინარები ფონდის ეგიდით ტარდება არაჩვეულებრივი ქარიზმისა და მაღალი ინტელექტუალური დონის მასწავლებლის ვოიცეხ თომალჩიკის მიერ. 2008 წელს იგი შევიდა პოლონეთის საუკეთესო ათეულში, რომლებსაც მიენიჭათ პედაგოგიკის პროფესორის წოდება (კანონით გათვალისწინებული მრავალი წლის წინ). მცირე გაზვიადებულია განცხადებაში: „განათლება არის სამყაროს ღერძი“.

და მთვარე ისინი ყოველთვის მომხიბვლელნი არიან - მაშინ იგრძნობთ, რომ ჩვენ ვცხოვრობთ პაწაწინა პლანეტაზე უზარმაზარ სივრცეში, სადაც ყველაფერი მოძრაობს, იზომება სანტიმეტრებში და წამებში. ცოტაც კი მაშინებს, დროის პერსპექტივაც. ჩვენ ვიგებთ, რომ შემდეგი სრული დაბნელება, რომელიც ჩანს დღევანდელი ვარშავის ტერიტორიიდან, იქნება ... 2681 წელს. მაინტერესებს ვინ ნახავს? მზისა და მთვარის აშკარა ზომები ჩვენს ცაზე თითქმის ერთნაირია - ამიტომაც არის დაბნელებები ასე მოკლე და სანახაობრივი. საუკუნეების განმავლობაში, ეს მოკლე წუთები საკმარისი უნდა იყოს ასტრონომებისთვის მზის გვირგვინის დასანახად. უცნაურია, რომ ისინი წელიწადში ორჯერ ხდება... მაგრამ ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ სადღაც დედამიწაზე მათი დანახვა შეიძლება მოკლე დროში. მოქცევის მოძრაობების შედეგად მთვარე შორდება დედამიწას - 260 მილიონ წელიწადში ის იმდენად შორს იქნება, რომ ჩვენ (ჩვენ???) მხოლოდ რგოლისებრ დაბნელებებს ვიხილავთ.

როგორც ჩანს, პირველმა იწინასწარმეტყველა eclipse, იყო თალეს მილეტელი (ძვ. წ. 28-585 სს.). ჩვენ ალბათ არ გვეცოდინება, მოხდა თუ არა ეს რეალურად, ანუ იწინასწარმეტყველა თუ არა, რადგან ის ფაქტი, რომ მცირე აზიაში დაბნელება მოხდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 567 წლის 566 მაისს, თანამედროვე გამოთვლებით დასტურდება. რა თქმა უნდა, მე ვასახელებ მონაცემებს დღევანდელი დროის შესახებ. ბავშვობაში წარმოვიდგენდი, როგორ ითვლიდნენ ადამიანები წლებს. ასე რომ, მაგალითად, XNUMX BC, ახალი წლის ღამე მოდის და ხალხი ხარობს: მხოლოდ XNUMX წელი BC! რა ბედნიერი უნდა ყოფილიყვნენ ისინი, როდესაც საბოლოოდ დადგა „ჩვენი ერა! ათასწლეულების რა შემობრუნება განვიცადეთ რამდენიმე წლის წინ!

თარიღებისა და დიაპაზონების გამოთვლის მათემატიკა დაბნელება, არ არის განსაკუთრებით რთული, მაგრამ გადატვირთულია ყველა სახის ფაქტორით, რომლებიც დაკავშირებულია კანონზომიერებასთან და, კიდევ უფრო უარესი, სხეულის არათანაბარ მოძრაობასთან ორბიტაზე. მე კი მინდა ვიცოდე ეს მათემატიკა. როგორ შეეძლო თალეს მილეტელს საჭირო გამოთვლების გაკეთება? პასუხი მარტივია. თქვენ უნდა გქონდეთ ცის რუკა. როგორ გავაკეთოთ ასეთი რუკა? ეს ასევე არ არის რთული, ძველმა ეგვიპტელებმა იცოდნენ ამის გაკეთება. შუაღამისას ორი მღვდელი გამოდის ტაძრის სახურავზე. თითოეული მათგანი ზის და ხატავს იმას, რასაც ხედავს (როგორც მისი კოლეგა). ორი ათასი წლის შემდეგ ჩვენ ყველაფერი ვიცით პლანეტების მოძრაობის შესახებ...

ლამაზი გეომეტრია, ან გართობა "ფარდაგზე"

ბერძნებს არ უყვარდათ რიცხვები, ისინი მიმართავდნენ გეომეტრიას. ეს არის ის, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ. ჩვენი eclipse ისინი იქნება მარტივი, ფერადი, მაგრამ ისეთივე საინტერესო და რეალური. ჩვენ ვეთანხმებით კონვენციას, რომ ლურჯი ფიგურა მოძრაობს ისე, რომ ის დაბნელდება წითელს. ლურჯ ფიგურას დავარქვათ მთვარე, ხოლო წითელ ფიგურას მზე. ჩვენ საკუთარ თავს ვუსვამთ შემდეგ კითხვებს:

1. რამდენ ხანს გრძელდება დაბნელება;
2. როდესაც მიზნის ნახევარი დაფარულია;

   ბრინჯი. 1 მრავალფერადი "ხალიჩა" მზეზე და მთვარეზე

3. რა არის მაქსიმალური დაფარვა;
4. შესაძლებელია თუ არა დროზე ფარის დაფარვის დამოკიდებულების ანალიზი? ამ სტატიაში (ტექსტის მოცულობით ვარ შეზღუდული) ყურადღებას გავამახვილებ მეორე კითხვაზე. ამის უკან არის ლამაზი გეომეტრია, ალბათ მოსაწყენი გამოთვლების გარეშე. მოდით შევხედოთ ლეღვს. 1. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ის ასოცირდება ... მზის დაბნელებასთან?

გულწრფელად უნდა ვთქვა, რომ დავალებები, რომლებსაც განვიხილავ, იქნება სპეციალურად შერჩეული, ადაპტირებული საშუალო და საშუალო სკოლის მოსწავლეების ცოდნასა და უნარებზე. მაგრამ ჩვენ ვვარჯიშობთ ისეთ ამოცანებზე, როდესაც მუსიკოსები უკრავენ სასწორებს, სპორტსმენები კი ასრულებენ ზოგადი განვითარების ვარჯიშებს. თანაც, ეს უბრალოდ ლამაზი ხალიჩა არ არის (სურ. 1)?

ბრინჯი. 2 "ლურჯი" მთვარე და "წითელი" მზე

ჩვენი ციური სხეულები თავდაპირველად მაინც ფერადი კვადრატები იქნება. მთვარე ლურჯია, მზე წითელია (საუკეთესოა შეღებვისთვის). აწმყოსთან ერთად eclipse მთვარე მისდევს მზეს ცაზე, აწვება ... და ხურავს მას. ჩვენთანაც ასე იქნება. უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც მთვარე მოძრაობს მზესთან შედარებით, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2. დაბნელება იწყება მაშინ, როდესაც მთვარის დისკის კიდე ეხება მზის დისკის კიდეს (ნახ. 2) და მთავრდება, როცა ის სცილდება მას.

ბრინჯი. 3 მთვარე მზეს დიაგონალურად უახლოვდება

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ „მთვარე“ მოძრაობს ერთი უჯრედი დროის ერთეულზე, მაგალითად, წუთში. შემდეგ დაბნელება გრძელდება დროის რვა ერთეული, ვთქვათ წუთი. ნახევარი მზის დაბნელებები მთლიანად ჩაბნელებული ციფერბლატის ნახევარი იკეტება ორჯერ: 2 და 6 წუთის შემდეგ. პროცენტული დაბინდვის გრაფიკი მარტივია. პირველი ორი წუთის განმავლობაში ფარი თანაბრად იხურება ნულიდან 1-მდე სიჩქარით, მომდევნო ორ წუთში ის იხსნება იმავე სიჩქარით.

აქ არის უფრო საინტერესო მაგალითი (ნახ. 3). მთვარე მზეს დიაგონალურად უახლოვდება. ჩვენი წუთში გადახდის ხელშეკრულების მიხედვით, დაბნელება გრძელდება 8√2 წუთი - ამ დროის შუაში გვაქვს სრული დაბნელება. გამოვთვალოთ მზის რა ნაწილია დაფარული t დროის შემდეგ (სურ. 3). თუ დაბნელების დაწყებიდან t წუთი გავიდა და შედეგად მთვარე ისეთია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5, მაშინ (ყურადღება!) მაშასადამე, იგი დაფარულია (კვადრატული APQR ფართობი), უდრის მზის დისკის ნახევარს; ამიტომ, იგი დაფარული იყო, როდესაც, ე.ი. 4 წუთის შემდეგ (შემდეგ 4 წუთით ადრე დაბნელების დასრულებამდე).

ბრინჯი. 4 „დაჩრდილვის“ ფუნქციის გრაფიკი

მთლიანობა გრძელდება ერთი მომენტი (t = 4√2), ხოლო „დაჩრდილული ნაწილის“ ფუნქციის გრაფიკი შედგება პარაბოლების ორი რკალისაგან (სურ. 4).

ჩვენი ცისფერი მთვარე წითელ მზესთან კუთხეს შეეხება, მაგრამ დაფარავს მას, მიდის არა დიაგონალზე, არამედ ოდნავ დიაგონალზე.საინტერესო გეომეტრია ჩნდება, როცა მოძრაობას ოდნავ გავართულებთ (სურ. 6). მოძრაობის მიმართულება ახლა ვექტორულია [4,3], ანუ „ოთხი უჯრედი მარჯვნივ, სამი უჯრედი ზემოთ“. მზის პოზიცია ისეთია, რომ დაბნელება იწყება (პოზიცია A), როდესაც „ციური სხეულების“ გვერდები გადაიყრება მათი სიგრძის მეოთხედს. როდესაც მთვარე გადადის B პოზიციაზე, ის დაბნელდება მზის მეექვსედს, ხოლო C პოზიციაზე ის დაბნელდება ნახევარს. D პოზიციაზე გვაქვს სრული დაბნელება და შემდეგ ყველაფერი უკან ბრუნდება, „როგორც იყო“.

ბრინჯი. 5 მზის ნაწილი დამალული დროს t

დაბნელება მთავრდება, როდესაც მთვარე იმყოფება G პოზიციაზე. ის გაგრძელდა იმდენ ხანს მონაკვეთის სიგრძე AG. თუ, როგორც ადრე, დროის ერთეულად ავიღებთ დროს, რომლის განმავლობაშიც მთვარე გადის „ერთ კვადრატში“, მაშინ AG-ის სიგრძე ტოლია. ძველ კონვენციას რომ დავუბრუნდეთ, რომ ჩვენი ციური სხეულები არის 4-ზე 4, შედეგი განსხვავებული იქნებოდა (რა?). როგორც მარტივი ჩანს, სამიზნე იხურება t < 15-ის შემდეგ. „ეკრანის დაფარვის პროცენტული“ ფუნქციის გრაფიკი ჩანს ნახ. 6.

ბრინჯი. 6 „პროცენტული დაცვის“ ფუნქციის გრაფიკი

დაბნელებისა და ნახტომის განტოლება

ბრინჯი. 7 მზის დისკის დაბრკოლება დაბნელების დროს ნაჩვენები ნახ. 6

დაბნელების პრობლემა არასრული იქნებოდა, თუ არ განვიხილავდით წრეების შემთხვევას. ეს ბევრად უფრო რთულია, მაგრამ მოდით შევეცადოთ გაერკვნენ, როდესაც ერთი წრე დაბნელდება მეორის ნახევარს - და უმარტივეს შემთხვევაში, როდესაც ერთი მათგანი მოძრაობს ორივეს დამაკავშირებელ დიამეტრზე. ნახატი ნაცნობია ზოგიერთი საკრედიტო ბარათის მფლობელებისთვის.

ველების პოზიციის გამოთვლა რთულია, რადგან ის მოითხოვს, პირველ რიგში, წრიული სეგმენტის ფართობის ფორმულის ცოდნას, მეორეც, კუთხის რკალის ცოდნას და მესამე (და ყველაზე ცუდი) უნარს. გარკვეული ნახტომის განტოლების ამოხსნა. არ განვმარტავ რა არის „გარდამავალი განტოლება“, ვნახოთ მაგალითი (სურ. 8).

ბრინჯი. 8 "სფერული" დაბნელება

წრიული მონაკვეთი არის "თასი", რომელიც რჩება წრის სწორი ხაზით გაჭრის შემდეგ. ასეთი სეგმენტის ფართობია S = 1/2r²(φ-sinφ), სადაც r არის წრის რადიუსი და φ არის ცენტრალური კუთხე, რომელზეც სეგმენტი ეყრდნობა (ნახ. 8). ეს ადვილად მიიღება სამკუთხედის ფართობის გამოკლებით წრიული სექტორის ფართობიდან.

ეპიზოდი O₁O₂ (წრეების ცენტრებს შორის მანძილი) მაშინ უდრის 2rcosφ/2, ხოლო სიმაღლე (სიგანე, „წელის ხაზი“) h = 2rsinφ/2. ასე რომ, თუ გვინდა გამოვთვალოთ, როდის დაფარავს მთვარე მზის დისკის ნახევარს, უნდა ამოხსნათ განტოლება: რომელიც გამარტივების შემდეგ ხდება:

ბრინჯი. 9 ორი ფუნქციის გრაფიკი

ასეთი განტოლებების ამოხსნა სცილდება მარტივ ალგებრას - განტოლება შეიცავს ორივე კუთხეს და მათ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. განტოლება სცილდება ტრადიციულ მეთოდებს. ამიტომაც ჰქვია გადახტომა. ჯერ გადავხედოთ ორივე ფუნქციის გრაფიკებს, ანუ ფუნქციებს და ფუნქციებს, ამ ფიგურიდან შეგვიძლია წავიკითხოთ სავარაუდო ამოხსნა. თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ განმეორებითი მიახლოება ან… გამოვიყენოთ Solver ვარიანტი Excel-ის ცხრილებში. ეს ყველა საშუალო სკოლის მოსწავლეს უნდა შეეძლოს, რადგან მე-20 საუკუნეა. მე გამოვიყენე უფრო დახვეწილი Mathematica ინსტრუმენტი და აქ არის ჩვენი გამოსავალი XNUMX ათწილადი არასაჭირო სიზუსტით:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

ბრინჯი. 10 დაბნელების ანიმაცია matematica-ში

ჩვენ ამას ვაქცევთ გრადუსებად 180/π-ზე გამრავლებით. ვიღებთ 132 გრადუსს, 20 წუთს, 45-ს და რკალი წამის მეოთხედს. ჩვენ ვიანგარიშებთ, რომ მანძილი წრის ცენტრამდე არის O₁O₂ = 0,808 რადიუსი და "წელი" 2,310.