ხუთჯერ თვალში

2020 წლის ბოლოს უნივერსიტეტებსა და სკოლებში რამდენიმე ღონისძიება გაიმართა, რომლებიც გადაიდო ... მარტიდან. ერთ-ერთი მათგანი იყო პი დღის „ზეიმი“. ამასთან დაკავშირებით, 8 დეკემბერს მე წავიკითხე დისტანციური ლექცია სილეზიის უნივერსიტეტში და ეს სტატია არის ლექციის შეჯამება. მთელი წვეულება 9.42-ზე დაიწყო, ჩემი ლექცია კი 10.28-ზეა დაგეგმილი. საიდან ასეთი სიზუსტე? ეს მარტივია: 3-ჯერ pi არის დაახლოებით 9,42, და π მე-2 ხარისხზე არის დაახლოებით 9,88, და საათი 9-დან 88-ე ხარისხამდე არის 10-დან 28-მდე ...

ამ რიცხვის პატივისცემის ჩვეულება, გამოხატავს წრის გარშემოწერილობის თანაფარდობას მის დიამეტრთან და ზოგჯერ არქიმედეს მუდმივას უწოდებენ (ისევე როგორც გერმანულენოვან კულტურებში), მოდის აშშ-დან (იხილეთ ასევე: ). 3.14 მარტს „ამერიკული სტილი“ 22:22 საათზე, აქედან მოდის იდეა. პოლონური ეკვივალენტი შეიძლება იყოს 7 ივლისი, რადგან ფრაქცია 14/XNUMX უახლოვდება π კარგად, რაც… არქიმედესმა უკვე იცოდა. ისე, მარტი XNUMX საუკეთესო დროა გვერდითი მოვლენებისთვის.

ეს სამი და მეთოთხმეტე მეასედი არის იმ რამდენიმე მათემატიკური გზავნილიდან, რომელიც ჩვენთან დარჩა სკოლიდან მთელი ცხოვრების განმავლობაში. ყველამ იცის ეს რას ნიშნავს"ხუთჯერ თვალში". ენაში ისეა ჩადებული, რომ ძნელია მისი განსხვავებულად და ერთნაირი მადლით გამოხატვა. როდესაც მანქანის სარემონტო მაღაზიაში ვკითხე, რა ღირდა შეკეთება, მექანიკოსი დაფიქრდა და თქვა: "ხუთჯერ დაახლოებით რვაასი ზლოტი". მე გადავწყვიტე გამომეყენებინა შექმნილი ვითარება. "უხეშ მიახლოებას გულისხმობ?". მექანიკოსს ალბათ ეგონა, რომ არასწორად გავიგე, ამიტომ გაიმეორა: „ზუსტად არ ვიცი რამდენი, მაგრამ თვალით ხუთჯერ იქნება 800“.

.

Რის შესახებაა? მეორე მსოფლიო ომამდე მართლწერა "არა"-ს ერთად იყენებდა და იქ დავტოვე. აქ საქმე ზედმეტად გრანდიოზულ პოეზიასთან არ გვაქვს, თუმცა მე მომწონს აზრი, რომ „ოქროს გემი ბედნიერებას ასხამს“. ჰკითხეთ მოსწავლეებს: რას ნიშნავს ეს აზრი? მაგრამ ამ ტექსტის ღირებულება სხვაგან დევს. შემდეგ სიტყვებში ასოების რაოდენობა არის pi გაფართოების ციფრები. Მოდი ვნახოთ:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

1596 წელს გერმანული წარმოშობის ჰოლანდიელი მეცნიერი ლუდოლფ ვან სეულენი გამოითვალა pi-ს მნიშვნელობა 35 ათწილადამდე. შემდეგ ეს ფიგურები მის საფლავზე იყო ამოტვიფრული. მან მიუძღვნა ლექსი ნომერ პის და ჩვენს ნობელის პრემიის ლაურეატს, ვისლავა შიმბორსკა. შიმბორსკა მოხიბლული იყო ამ რიცხვის არაპერიოდულობით და იმ ფაქტით, რომ 1-ის ალბათობით იქ იქნება ციფრების თითოეული თანმიმდევრობა, როგორიცაა ჩვენი ტელეფონის ნომერი. მიუხედავად იმისა, რომ პირველი თვისება თანდაყოლილია ყველა ირაციონალურ რიცხვში (რაც სკოლიდან უნდა გვახსოვდეს), მეორე საინტერესო მათემატიკური ფაქტია, რომლის დამტკიცებაც რთულია. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ აპლიკაციებიც, რომლებიც გთავაზობთ: მომეცი თქვენი ტელეფონის ნომერი და მე გეტყვით სად არის ის პიში.

სადაც დამრგვალებაა, იქ ძილია. თუ მრგვალი ტბა გვაქვს, მაშინ მის გარშემო სიარული ცურვაზე 1,57-ჯერ გრძელია. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ ჩვენ ვიცურავთ ერთნახევარ-ორჯერ უფრო ნელა, ვიდრე გავივლით. მე გავუზიარე 100 მეტრზე მსოფლიო რეკორდი 100 მეტრზე. საინტერესოა, რომ მამაკაცებსა და ქალებში შედეგი თითქმის ერთნაირია და არის 4,9. ჩვენ ვცურავთ 5-ჯერ უფრო ნელა, ვიდრე რბენით. ნიჩბოსნობა სრულიად განსხვავებულია - მაგრამ საინტერესო გამოწვევა. საკმაოდ გრძელი სიუჟეტი აქვს.

მდევნელი ბოროტმოქმედისგან გაქცეული სიმპათიური და კეთილშობილი კარგი ტბისკენ მიცურავდა. ბოროტმოქმედი ნაპირის გასწვრივ გარბის და ელოდება, როდის დაეშვება. რასაკვირველია, ის უფრო სწრაფად დარბის, ვიდრე დობრის რიგები და თუ შეუფერხებლად დარბის, დობრი უფრო სწრაფია. ასე რომ, ბოროტების ერთადერთი შანსი არის სიკეთის მიღება ნაპირიდან - რევოლვერიდან ზუსტი გასროლა არ არის ვარიანტი, რადგან. სიკეთეს აქვს ღირებული ინფორმაცია, რომლის ცოდნაც ბოროტებას სურს.

კარგი იცავს შემდეგ სტრატეგიას. ის ცურავს ტბას, თანდათან უახლოვდება ნაპირს, მაგრამ ყოველთვის ცდილობს იყოს ბოროტის მოპირდაპირე მხარეს, რომელიც შემთხვევით გარბის მარცხნივ, შემდეგ მარჯვნივ. ეს ნაჩვენებია ფიგურაში. დაე, ბოროტების საწყისი პოზიცია იყოს Z₁, ხოლო დობრე არის შუა ტბა. როდესაც Zly გადადის Z-ში₁, დობრო გაცურავს დ.₁როდესაც ცუდი არის Z-ში₂კარგია დ₂. შემოვა ზიგზაგში, მაგრამ წესის დაცვით: რაც შეიძლება შორს Z-დან. თუმცა როგორც შორდება ტბის ცენტრიდან, კარგი უნდა მოძრაობდეს უფრო და უფრო დიდ წრეებში და რაღაც მომენტში მას არ შეუძლია. დაიცავით პრინციპი "იყო ბოროტების მეორე მხარეს". მერე მთელი ძალით ნიჩბოს ნაპირისკენ გაემართა, იმ იმედით, რომ ბოროტი ტბას არ გადაუვლიდა. კარგი წარმატებას მიაღწევს?

პასუხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწრაფად შეუძლია Good-ს მწკრივი ბედის ფეხების ღირებულებასთან მიმართებაში. დავუშვათ, რომ ცუდი ადამიანი ტბაზე კარგი კაცის სიჩქარეზე s-ჯერ დარბის. მაშასადამე, უდიდეს წრეს, რომელზედაც სიკეთეს შეუძლია რიგს ბოროტების წინააღმდეგობის გაწევის მიზნით, აქვს რადიუსი, რომელიც ერთჯერ ნაკლებია ტბის რადიუსზე. ასე რომ, ნახატში გვაქვს. W წერტილში ჩვენი კეთილი იწყებს ნაპირისკენ სვლას. ეს უნდა წავიდეს 

 სისწრაფით

მას დრო სჭირდება.

Wicked მისდევს ყველა თავის საუკეთესო ფეხს. მან უნდა შეავსოს წრის ნახევარი, რომელსაც წამები ან წუთები დასჭირდება, არჩეული ერთეულების მიხედვით. თუ ეს უფრო მეტია ვიდრე ბედნიერი დასასრული:

კარგი წავა. მარტივი ანგარიშები აჩვენებს, რა უნდა იყოს. თუ ცუდი კაცი 4,14-ჯერ კარგ კაცზე სწრაფად დარბის, ეს კარგად არ დასრულდება. და აქაც ჩვენი რიცხვი პი ერევა.

რაც მრგვალია, მშვენიერია. ვნახოთ სამი დეკორატიული თეფშის ფოტო - მშობლების შემდეგ მაქვს. რა არის მათ შორის მრუდი სამკუთხედის ფართობი? ეს მარტივი ამოცანაა; პასუხი იგივე ფოტოზეა. ჩვენ არ გვიკვირს, რომ ის ჩნდება ფორმულაში - ბოლოს და ბოლოს, სადაც არის მრგვალი, იქ არის პი.

გამოვიყენე შესაძლოა უცნობი სიტყვა:. ასე ჰქვია რიცხვს pi გერმანულენოვან კულტურაში და ეს ყველაფერი ჰოლანდიელების წყალობით (სინამდვილეში გერმანელი, რომელიც ცხოვრობდა ნიდერლანდებში - იმ დროს ეროვნებას მნიშვნელობა არ ჰქონდა) ლუდოლფ სეულენელი... 1596 წელს გ. მან გამოთვალა ათწილადამდე მისი გაფართოების 35 ციფრი. ეს რეკორდი შენარჩუნდა 1853 წლამდე, სანამ უილიამ რეზერფორდი დაითვალა 440 ადგილი. ხელით გამოთვლების რეკორდსმენია (ალბათ სამუდამოდ) უილიამ შენკსირომელმაც მრავალწლიანი მუშაობის შემდეგ გამოაქვეყნა (1873 წ.) გაფართოება 702 ციფრამდე. მხოლოდ 1946 წელს აღმოჩნდა, რომ ბოლო 180 ციფრი არასწორი იყო, მაგრამ ასე დარჩა. Xnumx მარჯვნივ. საინტერესო იყო თავად შეცდომის პოვნა. შანქსის შედეგების გამოქვეყნებიდან მალევე, მათ ეჭვობდნენ, რომ "რაღაც არასწორი იყო" - საეჭვოდ რამდენიმე შვიდი იყო დამუშავების პროცესში. ჯერ კიდევ დაუმტკიცებელი (2020 წლის დეკემბერი) ჰიპოთეზა ამბობს, რომ ყველა რიცხვი ერთი და იგივე სიხშირით უნდა გამოჩნდეს. ამან აიძულა D.T. Ferguson გადახედოს შანქსის გამოთვლებს და ეპოვა "მოსწავლის" შეცდომა!

მოგვიანებით ადამიანებს კალკულატორები და კომპიუტერები დაეხმარნენ. ამჟამინდელი (2020 წლის დეკემბერი) რეკორდსმენია ტიმოთი მულიკანი (50 ტრილიონი ათობითი ადგილი). გამოთვლებს 303 დღე დასჭირდა. მოდით ვითამაშოთ: რამდენ ადგილს დაიკავებს ეს რიცხვი, დაბეჭდილი სტანდარტულ წიგნში. ბოლო დრომდე ტექსტის დაბეჭდილი „მხარე“ იყო 1800 სიმბოლო (30 სტრიქონი 60 სტრიქონზე). მოდით შევამციროთ სიმბოლოების რაოდენობა და გვერდის მინდვრები, დავაგროვოთ 5000 სიმბოლო თითო გვერდზე და დავბეჭდოთ 50 გვერდიანი წიგნი. ასე რომ, XNUMX ტრილიონ პერსონაჟს დასჭირდება ათი მილიონი წიგნი. ცუდი არ არის, არა?

საკითხავია, რა აზრი აქვს ასეთ ბრძოლას? წმინდა ეკონომიკური თვალსაზრისით, რატომ უნდა გადაიხადოს გადასახადის გადამხდელმა მათემატიკოსთა ასეთი „გასართობი“? პასუხი არ არის რთული. Პირველი, სეულენიდან გამოიგონეს ბლანკები გამოთვლებისთვის, შემდეგ სასარგებლოა ლოგარითმული გამოთვლებისთვის. რომ ეთქვა: გთხოვ, ბლანკები ააშენეო, უპასუხებდა: რატომ? ანალოგიურად ბრძანება:. მოგეხსენებათ, ეს აღმოჩენა არ იყო სრულიად შემთხვევითი, მაგრამ მაინც სხვა ტიპის კვლევის გვერდითი პროდუქტი.

მეორეც, წავიკითხოთ რას წერს ტიმოთი მულიკანი. აქ არის მისი მუშაობის დასაწყისის რეპროდუქცია. პროფესორი მულიკანი კიბერუსაფრთხოებაშია და პი ისეთი პატარა ჰობია, რომ მან ახლახან გამოსცადა თავისი ახალი კიბერუსაფრთხოების სისტემა.

და ეს 3,14159 ინჟინერიაში საკმარისზე მეტია, ეს სხვა საკითხია. მოდით გავაკეთოთ მარტივი გამოთვლა. იუპიტერი მზიდან დაშორებულია 4,774 ტმ (ტერამეტრი = 1012 მეტრი). ასეთი რადიუსის ასეთი წრის გარშემოწერილობის გამოსათვლელად აბსურდული სიზუსტით 1 მილიმეტრით, საკმარისი იქნებოდა ავიღოთ π = 3,1415926535897932.

შემდეგ ფოტოზე ნაჩვენებია ლეგოს კუბიკების მეოთხედი წრე. მე გამოვიყენე 1774 ბალიშები და ეს იყო დაახლოებით 3,08 pi. არ არის საუკეთესო, მაგრამ რას უნდა ველოდოთ? წრე არ შეიძლება შედგებოდეს კვადრატებისგან.

ზუსტად. რიცხვი pi ცნობილია, რომ არის წრე კვადრატი - მათემატიკური პრობლემა, რომელიც თავის ამოხსნას ელოდება 2000 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში - ბერძნული დროიდან. შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომპასი და სტრიქონი კვადრატის ასაგებად, რომლის ფართობი უდრის მოცემული წრის ფართობს?

ტერმინი „წრის კვადრატი“ შემოვიდა სალაპარაკო ენაში, როგორც რაღაც შეუძლებელის სიმბოლო. კლავიშს ვაჭერ, რომ ვიკითხო, არის თუ არა ეს ერთგვარი მცდელობა, ამოვსოთ მტრული თხრილი, რომელიც ჰყოფს ჩვენი ლამაზი ქვეყნის მოქალაქეებს? მაგრამ ამ თემას უკვე ვერიდები, რადგან ალბათ მხოლოდ მათემატიკაში ვგრძნობ თავს.

და ისევ იგივე - წრის კვადრატის ამოცანის ამოხსნა ისე არ გამოჩნდა, რომ ამოხსნის ავტორი, ჩარლზ ლინდემანი1882 წელს შეიქმნა და საბოლოოდ მიაღწია წარმატებას. გარკვეულწილად კი, მაგრამ ეს იყო ფართო ფრონტიდან შეტევის შედეგი. მათემატიკოსებმა გაიგეს, რომ არსებობს სხვადასხვა სახის რიცხვები. არა მხოლოდ მთელი რიცხვები, რაციონალური (ანუ წილადები) და ირაციონალური. განუზომლობა ასევე შეიძლება იყოს უკეთესი ან უარესი. შეიძლება სკოლიდან გავიხსენოთ, რომ ირაციონალური რიცხვია √2 - რიცხვი, რომელიც გამოხატავს კვადრატის დიაგონალის სიგრძის თანაფარდობას მის გვერდის სიგრძესთან. ნებისმიერი ირაციონალური რიცხვის მსგავსად, მას აქვს განუსაზღვრელი გაფართოება. შეგახსენებთ, რომ პერიოდული გაფართოება რაციონალური რიცხვების თვისებაა, ე.ი. პირადი მთელი რიცხვები:

აქ რიცხვების 142857 თანმიმდევრობა მეორდება განუსაზღვრელი ვადით √2-სთვის ეს არ მოხდება - ეს ირაციონალურობის ნაწილია. Მაგრამ შენ შეგიძლია:

(ფრაქცია გრძელდება სამუდამოდ). ჩვენ აქ ვხედავთ ნიმუშს, მაგრამ სხვა ტიპის. Pi არც ისე გავრცელებულია. ის ვერ მიიღება ალგებრული განტოლების ამოხსნით – ანუ ისეთი, რომელშიც არ არის არც კვადრატული ფესვი, არც ლოგარითმი და არც ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ეს უკვე აჩვენებს, რომ ის არ არის კონსტრუქციული - წრეების დახატვა მივყავართ კვადრატულ ფუნქციებამდე, ხოლო ხაზები - სწორი ხაზები - პირველი ხარისხის განტოლებამდე.

ალბათ, გადავუხვიე მთავარ ნაკვეთს. მხოლოდ ყველა მათემატიკის განვითარებამ შესაძლებელი გახადა სათავეებთან დაბრუნება - მოაზროვნეთა უძველეს მშვენიერ მათემატიკაში, რომლებმაც შექმნეს ჩვენთვის აზროვნების ევროპული კულტურა, რომელიც დღეს ასე საეჭვოა ზოგიერთისთვის.

მრავალი წარმომადგენლობითი ნიმუშიდან მე ავირჩიე ორი. მათგან პირველს გვარს ვუკავშირებთ გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).

მაგრამ მას იცნობდა (მოდელი და არა ლაიბნიცი) შუა საუკუნეების ინდუისტი მეცნიერი მადჰავა სანგამაგრამისთვის (1350-1425). იმ დროისთვის ინფორმაციის გადაცემა არც თუ ისე დიდი იყო - ინტერნეტ კავშირები ხშირად იყო ბუზღუნური და არ იყო მობილური ტელეფონების ბატარეები (რადგან ელექტრონიკა ჯერ არ იყო გამოგონილი!). ფორმულა ლამაზია, მაგრამ გამოთვლებისთვის უსარგებლო. ასი ინგრედიენტიდან „მხოლოდ“ 3,15159 მიიღება.

ის ცოტათი უკეთესია ვიეტის ფორმულა (ერთი კვადრატული განტოლებიდან) და მისი ფორმულა ადვილი დასაპროგრამებელია, რადგან ნამრავლის შემდეგი წევრი არის წინა პლუს ორის კვადრატული ფესვი.

ჩვენ ვიცით, რომ წრე მრგვალია. შეიძლება ითქვას, რომ ეს არის 100 პროცენტიანი რაუნდი. მათემატიკოსი იკითხავს: შეიძლება რაღაც არ იყოს 1 პროცენტიანი რაუნდი? როგორც ჩანს, ეს არის ოქსიმორონი, ფრაზა, რომელიც შეიცავს ფარულ წინააღმდეგობას, როგორიცაა, მაგალითად, ცხელი ყინული. მაგრამ შევეცადოთ გავზომოთ რამდენად მრგვალი შეიძლება იყოს ფორმები. გამოდის, რომ კარგი ზომა მოცემულია შემდეგი ფორმულით, რომელშიც S არის ფართობი და L არის ფიგურის გარშემოწერილობა. მოდით გავარკვიოთ, რომ წრე მართლაც მრგვალია, რომ სიგმა არის 6. წრის ფართობი არის წრეწირი. ჩვენ ჩავსვით ... და ვნახოთ რა არის სწორი. რამდენად მრგვალია კვადრატი? გათვლები ისეთივე მარტივია, არც მივცემ. აიღეთ რეგულარული ექვსკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია წრეში რადიუსით. პერიმეტრი აშკარად არის XNUMX.

პოლუსი

რაც შეეხება ჩვეულებრივ ექვსკუთხედს? მისი გარშემოწერილობა არის 6 და მისი ფართობი

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს

რაც დაახლოებით უდრის 0,952-ს. ექვსკუთხედი 95%-ზე მეტია "მრგვალი".

საინტერესო შედეგი მიიღება სპორტული სტადიონის მრგვალობის გაანგარიშებისას. IAAF-ის წესების მიხედვით, სწორი და მოსახვევები უნდა იყოს 40 მეტრი სიგრძის, თუმცა გადახრები დასაშვებია. მახსოვს, ოსლოში ბისლეტის სტადიონი ვიწრო და გრძელი იყო. მე ვწერ "იყო", რადგან მე მასზეც კი გავრბოდი (მოყვარულისთვის!), მაგრამ XNUMX წლის წინ. მოდით შევხედოთ:

თუ რკალის რადიუსი 100 მეტრია, ამ რკალის რადიუსი არის მეტრი. გაზონის ფართობი არის კვადრატული მეტრი, ხოლო მის გარეთ (სადაც არის პლაცდარმები) შეადგენს კვადრატულ მეტრს. მოდით ჩავრთოთ ეს ფორმულაში:

მაშ, აქვს თუ არა რაიმე კავშირი სპორტული სტადიონის მრგვალობას ტოლგვერდა სამკუთხედთან? იმის გამო, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე ტოლია გვერდის ტოლი. ეს რიცხვების შემთხვევითი დამთხვევაა, მაგრამ სასიამოვნოა. Მომწონს. და მკითხველები?

კარგია, რომ მრგვალია, თუმცა ზოგიერთმა შეიძლება გააპროტესტოს, რადგან ვირუსი, რომელიც ყველა ჩვენგანზე მოქმედებს, მრგვალია. ყოველ შემთხვევაში ასე ხატავენ.