საპირისპირო ხიბლი
„საპირისპიროების ხიბლზე“ ბევრს საუბრობენ და არა მარტო მათემატიკაში. გახსოვდეთ, რომ საპირისპირო რიცხვებია ის რიცხვები, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნით: პლუს 7 და მინუს 7. საპირისპირო რიცხვების ჯამი არის ნული. მაგრამ ჩვენთვის (ანუ მათემატიკოსებისთვის) ორმხრივები უფრო საინტერესოა. თუ რიცხვების ნამრავლი 1-ის ტოლია, მაშინ ეს რიცხვები შებრუნებულია ერთმანეთის მიმართ. ყველა რიცხვს აქვს თავისი საპირისპირო, ყველა არანულოვან რიცხვს აქვს თავისი შებრუნებული. ორმხრივი საპასუხო არის თესლი.
ინვერსია ხდება იქ, სადაც ორი სიდიდე დაკავშირებულია ერთმანეთთან ისე, რომ თუ ერთი იზრდება, მეორე მცირდება შესაბამისი სიჩქარით. „რელევანტური“ ნიშნავს, რომ ამ რაოდენობების პროდუქტი არ იცვლება. სკოლიდან გვახსოვს: ეს შებრუნებული პროპორციაა. თუ მსურს ჩემს დანიშნულებამდე ორჯერ სწრაფად მისვლა (ანუ დროის განახევრება), სიჩქარე უნდა გავაორმაგო. თუ გაზით დალუქული ჭურჭლის მოცულობა n-ჯერ შემცირდება, მაშინ მისი წნევა გაიზრდება n-ჯერ.
დაწყებით განათლებაში ჩვენ გულდასმით განვასხვავებთ დიფერენციალურ და ფარდობით შედარებებს. "Რამდენად მეტი"? - "რამდენჯერ მეტი?"
აქ არის რამდენიმე სასკოლო აქტივობა:
ამოცანა 1. ორი დადებითი მნიშვნელობიდან პირველი 5-ჯერ მეტია მეორეზე და ამავე დროს 5-ჯერ მეტი პირველზე. რა ზომებია?
ამოცანა 2. თუ ერთი რიცხვი 3-ით მეტია მეორეზე, ხოლო მეორე 2-ით მეტი მესამეზე, რამდენად დიდია პირველი რიცხვი მესამეზე? თუ პირველი დადებითი რიცხვი ორჯერ არის მეორეზე, ხოლო პირველი რიცხვი სამჯერ არის მესამეზე, რამდენჯერ მეტია პირველი რიცხვი მესამეზე?
ამოცანა 3. დავალება 2-ში დასაშვებია მხოლოდ ნატურალური რიცხვები. შესაძლებელია თუ არა იქ აღწერილი ისეთი მოწყობა?
ამოცანა 4. ორი დადებითი მნიშვნელობიდან პირველი 5-ჯერ მეორეა, მეორე კი 5-ჯერ პირველზე. Შესაძლებელია?
"საშუალო" ან "საშუალო" კონცეფცია ძალიან მარტივი ჩანს. თუ ორშაბათს ვიარე 55 კმ, სამშაბათს 45 კმ და ოთხშაბათს 80 კმ, დღეში საშუალოდ 60 კმ ვიარე. მთელი გულით ვეთანხმებით ამ გამოთვლებს, თუმცა ცოტა უცნაურია, რადგან ერთ დღეში 60 კმ არ გამივლია. ჩვენ ისევე მარტივად ვიღებთ პიროვნების წილებს: თუ ექვს დღეში ორასი ადამიანი ეწვევა რესტორანს, მაშინ საშუალო დღიური მაჩვენებელია 33 და მესამე ადამიანი. ჰმ!
პრობლემებია მხოლოდ საშუალო ზომასთან დაკავშირებით. მე მიყვარს ველოსიპედი. ამიტომ ვისარგებლე ტურისტული სააგენტოს „Let's go with us“-ის შემოთავაზებით - ბარგს აწვდიან სასტუმროში, სადაც კლიენტი რეკრეაციული მიზნით ველოსიპედით დადის. პარასკევს ოთხი საათი ვიარე: პირველი ორი საათში 24 კმ სიჩქარით. მერე ისე დავიღალე, რომ მომდევნო ორი საათში მხოლოდ 16 სიჩქარით. რა იყო ჩემი საშუალო სიჩქარე? რა თქმა უნდა (24+16)/2=20კმ=20კმ/სთ.
შაბათს კი ბარგი სასტუმროში დამიტოვეს და ციხის ნანგრევების სანახავად წავედი, რომელიც 24 კმ-შია და რომ დავინახე, დავბრუნდი. ერთი საათის განმავლობაში ვიარე ერთი მიმართულებით, უკან უფრო ნელა დავბრუნდი, საათში 16 კმ სიჩქარით. როგორი იყო ჩემი საშუალო სიჩქარე სასტუმრო-ციხე-სასტუმრო მარშრუტზე? 20 კმ საათში? Რათქმაუნდა არა. ბოლოს და ბოლოს, სულ 48 კმ გავიარე და ერთი საათი („იქ“) დამჭირდა და საათნახევარი უკან. 48 კმ ორნახევარ საათში, ე.ი. საათი 48/2,5=192/10=19,2 კმ! ამ სიტუაციაში საშუალო სიჩქარე არ არის საშუალო არითმეტიკული, არამედ მოცემული მნიშვნელობების ჰარმონია:
და ეს ორსართულიანი ფორმულა შეიძლება ასე წავიკითხოთ: დადებითი რიცხვების ჰარმონიული საშუალო არის მათი საპასუხო საშუალო არითმეტიკული საპასუხო. საპასუხო ჯამის ორმხრივი სასკოლო დავალების ბევრ გუნდში ჩნდება: თუ ერთი მუშა საათებს თხრის, მეორე - b საათს, მაშინ ერთად მუშაობენ დროზე თხრიან. წყლის აუზი (ერთი საათში, მეორე ბ საათში). თუ ერთ რეზისტორს აქვს R1 და მეორეს აქვს R2, მაშინ მათ აქვთ პარალელური წინააღმდეგობა.
თუ ერთ კომპიუტერს შეუძლია პრობლემის გადაჭრა წამებში, მეორე კომპიუტერს b წამში, მაშინ როცა ისინი ერთად მუშაობენ...
გაჩერდი! სწორედ აქ მთავრდება ანალოგია, რადგან ყველაფერი დამოკიდებულია ქსელის სიჩქარეზე: კავშირების ეფექტურობაზე. მუშებს ასევე შეუძლიათ ხელი შეუშალონ ან დაეხმარონ ერთმანეთს. თუ ერთ კაცს შეუძლია ჭაბურღილი რვა საათში ამოთხაროს, შეუძლია თუ არა ოთხმოცმა მუშას ამის გაკეთება საათის 1/10-ში (ან 6 წუთში)? თუ ექვსი პორტიალი პიანინოს პირველ სართულზე 6 წუთში აჰყავს, რა დრო დასჭირდება ერთ-ერთ მათგანს ფორტეპიანოს სამოცდამეათე სართულზე მიტანისთვის? ასეთი ამოცანების აბსურდულობა ახსენებს ყველა მათემატიკის შეზღუდულ გამოყენებას პრობლემებზე „სიცოცხლიდან“.
ძლიერი გამყიდველის შესახებ
სასწორი აღარ გამოიყენება. შეგახსენებთ, რომ ასეთი სასწორის ერთ თასზე წონას დებდნენ, მეორეზე კი ასაწონი საქონელს და როცა წონა წონასწორობაში იყო, მაშინ საქონელი იწონიდა იმდენს, რამდენსაც წონა. რა თქმა უნდა, წონის დატვირთვის ორივე ხელი უნდა იყოს ერთნაირი სიგრძით, წინააღმდეგ შემთხვევაში აწონვა არასწორი იქნება.
ოჰ, მართალია. წარმოიდგინეთ გამყიდველი, რომელსაც აქვს წონა არათანაბარი ბერკეტით. თუმცა მას სურს მომხმარებელთან გულწრფელი იყოს და საქონელს ორ პარტიად აწონოს. ჯერ ერთ ტაფაზე ადებს წონას, მეორეზე კი საქონლის შესაბამის რაოდენობას – ისე, რომ სასწორი წონასწორობაში იყოს. შემდეგ საქონლის მეორე „ნახევარს“ აწონავს საპირისპირო თანმიმდევრობით, ანუ წონას ადებს მეორე თასზე, ხოლო საქონელს პირველზე. ვინაიდან ხელები არათანაბარია, "ნახევრები" არასოდეს არ არის თანაბარი. გამყიდველის სინდისი კი სუფთაა და მყიდველები ადიდებენ მის პატიოსნებას: „რაც აქ წავშალე, მერე დავამატე“.
თუმცა, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ გამყიდველის ქცევას, რომელსაც სურს იყოს პატიოსანი, მიუხედავად არასტაბილური წონისა. მოდით, ბალანსის მკლავებს ჰქონდეს სიგრძე a და b. თუ ერთი თასი დატვირთულია კილოგრამიანი წონით, მეორე კი x საქონლით, მაშინ სასწორი წონასწორობაშია, თუ პირველად ax = b და მეორედ bx = a. ასე რომ, საქონლის პირველი ნაწილი უდრის b/kg, მეორე ნაწილი არის a/b. კარგ წონას აქვს a = b, ამიტომ მყიდველი მიიღებს 2 კგ საქონელს. ვნახოთ, რა მოხდება, როდესაც a ≠ b. მაშინ a – b ≠ 0 და შემცირებული გამრავლების ფორმულიდან გვაქვს
მოულოდნელ შედეგამდე მივედით: გაზომვის "საშუალოების" ერთი შეხედვით სამართლიანი მეთოდი ამ შემთხვევაში მუშაობს მყიდველის სასარგებლოდ, რომელიც იღებს მეტ საქონელს.
სამუშაო ადგილი. (მნიშვნელოვანია, არავითარ შემთხვევაში მათემატიკაში!). კოღო იწონის 2,5 მილიგრამს, ხოლო სპილო ხუთი ტონას (ეს საკმაოდ სწორი მონაცემებია). გამოთვალეთ საშუალო არითმეტიკული, გეომეტრიული საშუალო და ჰარმონიული საშუალო კოღოების და სპილოების მასების (წონები). შეამოწმეთ გამოთვლები და ნახეთ, აქვთ თუ არა რაიმე აზრი არითმეტიკული სავარჯიშოების გარდა. მოდით შევხედოთ მათემატიკური გამოთვლების სხვა მაგალითებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს „რეალურ ცხოვრებაში“. რჩევა: ჩვენ უკვე განვიხილეთ ერთი მაგალითი ამ სტატიაში. ნიშნავს თუ არა ეს, რომ ანონიმური სტუდენტი, რომლის მოსაზრებაც ინტერნეტში აღმოვაჩინე, მართალი იყო: „მათემატიკა აბრიყვებს ადამიანებს რიცხვებით“?
დიახ, ვეთანხმები, რომ მათემატიკის სიდიადეში შეგიძლიათ „მოატყუოთ“ ადამიანები - შამპუნის ყოველი მეორე რეკლამაში ნათქვამია, რომ ის გარკვეულ პროცენტულად ზრდის ფუმფულას. მოძებნოთ თუ არა სასარგებლო ყოველდღიური ინსტრუმენტების სხვა მაგალითები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კრიმინალური ქმედებებისთვის?
გრამი!
ამ მონაკვეთის სათაური არის ზმნა (პირველი პირის მრავლობითი) და არა არსებითი სახელი (სახელობითი მრავლობითი კილოგრამის მეათასედი). ჰარმონია გულისხმობს წესრიგს და მუსიკას. ძველი ბერძნებისთვის მუსიკა მეცნიერების დარგი იყო – უნდა ვაღიაროთ, რომ თუ ასე ვიტყვით, სიტყვა „მეცნიერების“ ამჟამინდელ მნიშვნელობას ჩვენს წელთაღრიცხვამდე გადავიტანთ. პითაგორა ცხოვრობდა ძვ. მან არ იცოდა არც არაბული და არც რომაული ციფრები (ისინი გამოიყენეს ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-XNUMX საუკუნეში), არ იცოდა რა იყო პუნიკური ომები... მაგრამ იცოდა მუსიკა...
მან იცოდა, რომ სიმებიანი ინსტრუმენტებზე ვიბრაციის კოეფიციენტები უკუპროპორციული იყო სიმების ვიბრაციული ნაწილების სიგრძისა. მან იცოდა, იცოდა, უბრალოდ ვერ გამოხატავდა ისე, როგორც ამას დღეს ვაკეთებთ.
სიმებიანი ორი ვიბრაციის სიხშირეები, რომლებიც ქმნიან ოქტავას, არის 1:2 თანაფარდობით, ანუ უმაღლესი ნოტის სიხშირე ორჯერ აღემატება ქვედა ნოტის სიხშირეს. ვიბრაციის სწორი თანაფარდობა მეხუთისთვის არის 2:3, მეოთხე არის 3:4, სუფთა მაჟორი მესამე არის 4:5, მცირე მესამე არის 5:6. ეს სასიამოვნო თანხმოვანი ინტერვალებია. შემდეგ არის ორი ნეიტრალური, ვიბრაციის თანაფარდობით 6:7 და 7:8, შემდეგ დისონანსი - დიდი ტონი (8:9), პატარა ტონი (9:10). ეს წილადები (ფარდობები) ჰგავს თანმიმდევრული წევრების თანაფარდობას, რომელსაც მათემატიკოსები (სწორედ ამ მიზეზით) უწოდებენ ჰარმონიულ სერიას:
თეორიულად უსასრულო ჯამია. ოქტავის რხევების თანაფარდობა შეიძლება დაიწეროს 2:4 და მათ შორის დავაყენოთ მეხუთე: 2:3:4, ანუ ოქტავას გავყოფთ მეხუთედ და მეოთხედ. მათემატიკაში ამას ჰქვია ჰარმონიული სეგმენტის გაყოფა:
ბრინჯი. 1. მუსიკოსისთვის: ოქტავის AB დაყოფა მეხუთე AC-ად.მათემატიკოსისთვის: ჰარმონიული სეგმენტაცია
რას ვგულისხმობ, როდესაც ვსაუბრობ (ზემოთ) თეორიულად უსასრულო ჯამზე, როგორიცაა ჰარმონიული სერია? გამოდის, რომ ასეთი ჯამი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დიდი რიცხვი, მთავარია ვამატოთ დიდი ხნის განმავლობაში. სულ უფრო და უფრო ნაკლები ინგრედიენტებია, მაგრამ უფრო და უფრო მეტი მათგანია. რა სჭარბობს? აქ ჩვენ შევდივართ მათემატიკური ანალიზის სფეროში. გამოდის, რომ ინგრედიენტები ამოიწურება, მაგრამ არც ისე სწრაფად. მე გაჩვენებთ, რომ საკმარისი ინგრედიენტების მიღებით შემიძლია შევაჯამოთ:
თვითნებურად დიდი. ავიღოთ "მაგალითად" n = 1024. მოდით დავაჯგუფოთ სიტყვები, როგორც ნაჩვენებია სურათზე:
თითოეულ ფრჩხილში თითოეული სიტყვა უფრო დიდია ვიდრე წინა, გარდა, რა თქმა უნდა, უკანასკნელისა, რომელიც თავის ტოლია. შემდეგ ფრჩხილებში გვაქვს 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 და 512 კომპონენტი; თითოეულ ფრჩხილში ჯამის მნიშვნელობა ½-ზე მეტია. ეს ყველაფერი 5½-ზე მეტია. უფრო ზუსტი გამოთვლები აჩვენებს, რომ ეს თანხა არის დაახლოებით 7,50918. არც ისე ბევრი, მაგრამ ყოველთვის, და თქვენ ხედავთ, რომ n-ს ნებისმიერი დიდის აღებით, მე შემიძლია გავასწრო ნებისმიერი რიცხვი. ეს არის წარმოუდგენლად ნელი (მაგალითად, ჩვენ ათეულში ვართ მხოლოდ ინგრედიენტებით), მაგრამ უსასრულო ზრდა ყოველთვის ხიბლავდა მათემატიკოსებს.
მოგზაურობა უსასრულობაში ჰარმონიული სერიებით
აქ არის თავსატეხი საკმაოდ სერიოზული მათემატიკისთვის. ჩვენ გვაქვს შეუზღუდავი მარაგი მართკუთხა ბლოკებით (რა შემიძლია ვთქვა, მართკუთხა!) ზომებით, ვთქვათ, 4 × 2 × 1. განვიხილოთ სისტემა, რომელიც შედგება რამდენიმესგან ნახ. 2 - ოთხი) ბლოკები, განლაგებული ისე, რომ პირველი დახრილი იყოს მისი სიგრძის ½-ით, მეორე ზემოდან ¼-ით და ასე შემდეგ, მესამე ერთი მეექვსედით. ისე, იქნებ ის მართლაც სტაბილური იყოს, პირველი აგური ოდნავ ნაკლები დავხაროთ. არ აქვს მნიშვნელობა გამოთვლებს.
ბრინჯი. 2. სიმძიმის ცენტრის განსაზღვრა
ასევე ადვილი გასაგებია, რომ ვინაიდან პირველი ორი ბლოკისგან შედგენილ ფიგურას (ზემოდან დათვლა) აქვს სიმეტრიის ცენტრი B წერტილში, მაშინ B არის სიმძიმის ცენტრი. მოდით გეომეტრიულად განვსაზღვროთ სისტემის სიმძიმის ცენტრი, რომელიც შედგება სამი ზედა ბლოკისგან. აქ ძალიან მარტივი არგუმენტი საკმარისია. მოდით გონებრივად დავყოთ სამბლოკიანი კომპოზიცია ორ ზედა და მესამე ქვედა. ეს ცენტრი უნდა განთავსდეს ორი ნაწილის სიმძიმის ცენტრების დამაკავშირებელ მონაკვეთზე. ამ ეპიზოდის რომელ მომენტში?
აღნიშვნის ორი გზა არსებობს. პირველში გამოვიყენებთ დაკვირვებას, რომ ეს ცენტრი უნდა მდებარეობდეს სამბლოკიანი პირამიდის შუაში, ანუ სწორ ხაზზე, რომელიც კვეთს მეორე, შუა ბლოკს. მეორე გზით, ჩვენ გვესმის, რომ რადგან ორ ზედა ბლოკს აქვს საერთო მასა ორჯერ მეტი, ვიდრე ერთი ბლოკის #3 (ზედა), სიმძიმის ცენტრი ამ მონაკვეთზე ორჯერ უფრო ახლოს უნდა იყოს B-სთან, ვიდრე ცენტრთან. მესამე ბლოკის S. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ შემდეგ წერტილს: სამი ბლოკის აღმოჩენილ ცენტრს ვუკავშირებთ მეოთხე ბლოკის S ცენტრს. მთელი სისტემის ცენტრი არის 2 სიმაღლეზე და იმ წერტილში, რომელიც ყოფს სეგმენტს 1-დან 3-მდე (ანუ მისი სიგრძის ¾-ით).
გამოთვლები, რომლებსაც ჩვენ განვახორციელებთ ცოტა შემდგომ, მიგვიყვანს ნახ. rys. ცხრა. სიმძიმის თანმიმდევრული ცენტრები ამოღებულია ქვედა ბლოკის მარჯვენა კიდიდან:
ამრიგად, პირამიდის სიმძიმის ცენტრის პროექცია ყოველთვის ფუძის ფარგლებშია. კოშკი არ დაინგრევა. ახლა მოდით შევხედოთ ნახ. 3 და ერთი წუთით, ზემოდან მეხუთე ბლოკი გამოვიყენოთ საფუძვლად (უფრო ნათელი ფერით მონიშნული). ზევით დახრილი:
ამრიგად, მისი მარცხენა კიდე არის 1-ით უფრო შორს, ვიდრე ფუძის მარჯვენა კიდე. აი შემდეგი რხევა:
რა არის ყველაზე დიდი რხევა? ჩვენ უკვე ვიცით! არ არსებობს უდიდესი! თუნდაც უმცირესი ბლოკების აღებით, შეგიძლიათ მიიღოთ ერთი კილომეტრის გადახურვა - სამწუხაროდ, მხოლოდ მათემატიკურად: მთელი დედამიწა არ იქნება საკმარისი ამდენი ბლოკის ასაშენებლად!
ბრინჯი. 3. დაამატეთ მეტი ბლოკი
ახლა გამოთვლები, რომლებიც ზემოთ დავტოვეთ. ჩვენ გამოვთვლით ყველა მანძილს "ჰორიზონტალურად" x ღერძზე, რადგან ეს ყველაფერია. წერტილი A (პირველი ბლოკის სიმძიმის ცენტრი) არის 1/2 მარჯვენა კიდედან. წერტილი B (ორი ბლოკის სისტემის ცენტრი) დაშორებულია მეორე ბლოკის მარჯვენა კიდიდან 1/4-ით. დაე, საწყისი წერტილი იყოს მეორე ბლოკის დასასრული (ახლა გადავალთ მესამეზე). მაგალითად, სად არის #3 ერთი ბლოკის სიმძიმის ცენტრი? ამრიგად, ამ ბლოკის სიგრძის ნახევარი, ეს არის 1/2 + 1/4 = 3/4 ჩვენი საცნობარო წერტილიდან. სად არის წერტილი C? სეგმენტის ორ მესამედში 3/4 და 1/4 შორის, ანუ წინა წერტილში, ჩვენ ვცვლით საცნობარო წერტილს მესამე ბლოკის მარჯვენა კიდეზე. სამი ბლოკის სისტემის სიმძიმის ცენტრი ახლა ამოღებულია ახალი საცნობარო წერტილიდან და ა.შ. სიმძიმის ცენტრი Cn კოშკი, რომელიც შედგება n ბლოკისგან, არის 1/2n დაშორებით მყისიერი საცნობარო წერტილიდან, რომელიც არის საბაზისო ბლოკის მარჯვენა კიდე, ანუ მე-n ბლოკი ზემოდან.
ვინაიდან ურთიერთსაწინააღმდეგო სერიები განსხვავდება, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი დიდი ვარიაცია. შეიძლება ეს რეალურად განხორციელდეს? ის გაუთავებელი აგურის კოშკს ჰგავს – ადრე თუ გვიან ის თავისივე სიმძიმით ჩამოინგრევა. ჩვენს სქემაში, ბლოკის განლაგების მინიმალური უზუსტობები (და სერიის ნაწილობრივი ჯამების ნელი ზრდა) ნიშნავს, რომ ჩვენ ძალიან შორს არ წავალთ.
