გეომეტრიული ბილიკები და ჭაობები

ამ სტატიის წერისას გამახსენდა იან პიეტრზაკის ძალიან ძველი სიმღერა, რომელიც მან სატირულ მოღვაწეობამდე იმღერა პოლონეთის სახალხო რესპუბლიკაში უსაფრთხოების სარქველად აღიარებულ კაბარეში Pod Egidą; გულახდილად შეიძლება სიცილი სისტემის პარადოქსებზე. ამ სიმღერაში ავტორმა რეკომენდაცია გაუწია სოციალისტურ პოლიტიკურ მონაწილეობას, დასცინოდა მათ, ვისაც აპოლიტიკურობა უნდა და გაზეთში რადიოს გამორთვა. „სჯობს სკოლაში კითხვას დავუბრუნდეთ“, ირონიულად მღეროდა მაშინ XNUMX წლის პეტშაკი.

მე ვბრუნდები სკოლაში, ვკითხულობ. ხელახლა ვკითხულობ (არა პირველად) შჩეპან ელენსკის (1881-1949) წიგნს „ლილავატი“. რამდენიმე მკითხველისთვის სიტყვა თავად ამბობს რაღაცას. ეს არის ცნობილი ინდუისტი მათემატიკოსის ქალიშვილი, რომელიც ცნობილია როგორც ბჰასკარა (1114-1185), სახელად აკარია, ან ბრძენი, რომელმაც თავისი წიგნი ალგებრაზე ამ სახელით დაარქვა. მოგვიანებით ლილავატი თავად გახდა ცნობილი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი. სხვა წყაროების თანახმად, სწორედ მან დაწერა წიგნი თავად.

შცეპან ელენსკიმ იგივე სათაური მისცა მათემატიკის წიგნს (პირველი გამოცემა, 1926 წ.). შეიძლება ძნელიც კი იყოს ამ წიგნს მათემატიკური ნაწარმოების დარქმევა - ის უფრო თავსატეხების ნაკრები იყო და ძირითადად ფრანგული წყაროებიდან იყო გადაწერილი (საავტორო უფლებები თანამედროვე გაგებით არ არსებობდა). ყოველ შემთხვევაში, მრავალი წლის განმავლობაში ეს იყო ერთადერთი პოპულარული პოლონური წიგნი მათემატიკაში - მოგვიანებით მას დაემატა ილენსკის მეორე წიგნი, პითაგორას ტკბილეული. ასე რომ, მათემატიკით დაინტერესებულ ახალგაზრდებს (ეს არის ზუსტად ის, რაც მე ვიყავი) არაფერი ჰქონდათ არჩევანის გაკეთება ...

სამაგიეროდ, "ლილავატი" თითქმის ზეპირად უნდა მცოდნოდა... აჰა, იყო დრო... მათი ყველაზე დიდი უპირატესობა ის იყო, რომ მე მაშინ... თინეიჯერი ვიყავი. დღეს, კარგად განათლებული მათემატიკოსის გადმოსახედიდან, ლილავათს სულ სხვანაირად ვუყურებ – შესაძლოა, როგორც მთამსვლელი შპიგლასოვა ფშელენჩისკენ მიმავალი ბილიკის მოსახვევებში. არც ერთი და არც მეორე არ კარგავს ხიბლს... მისთვის დამახასიათებელ სტილში, პირად ცხოვრებაში ეგრეთ წოდებულ ეროვნულ იდეებს ასწავლის შჩეპან ელენსკი, წინასიტყვაობაში წერს:

ეროვნული მახასიათებლების აღწერაზე შეხების გარეშე ვიტყვი, რომ ოთხმოცდაათი წლის შემდეგაც კი, ელენსკის სიტყვებს მათემატიკაზე არ დაუკარგავს აქტუალობა. მათემატიკა გასწავლის აზროვნებას. ფაქტია. შეგვიძლია გასწავლოთ განსხვავებულად, უფრო მარტივად და ლამაზად აზროვნება? Შესაძლოა. უბრალოდ... ჯერ კიდევ არ შეგვიძლია. ჩემს მოსწავლეებს, რომლებსაც არ სურთ მათემატიკის სწავლა, ავუხსნი, რომ ესეც მათი ინტელექტის ტესტია. თუ თქვენ ვერ ისწავლით მათემატიკის მარტივ თეორიას, მაშინ... იქნებ თქვენი გონებრივი შესაძლებლობები იმაზე უარესია, ვიდრე ორივეს გვსურს...?

ნიშნები ქვიშაში

და აი, პირველი მოთხრობა „ლილავათში“ - ფრანგი ფილოსოფოსის ჟოზეფ დე მეისტრის (1753-1821) მიერ აღწერილი ამბავი.

დანგრეული გემიდან მეზღვაური ტალღებმა გადააგდეს ცარიელ ნაპირზე, რომელიც მას დაუსახლებლად მიაჩნდა. უცებ, სანაპირო ქვიშაში ვიღაცის წინ დახატული გეომეტრიული ფიგურის კვალი დაინახა. სწორედ მაშინ მიხვდა, რომ კუნძული არ იყო უკაცრიელი!

დე მესტრის ციტირებით, ელენსკი წერს: გეომეტრიული ფორმაეს იქნებოდა მუნჯი გამოთქმა სამწუხარო, გემის დაღუპვისთვის, დამთხვევა, მაგრამ მან მას ერთი შეხედვით აჩვენა პროპორცია და რიცხვი და ამან გააფრთხილა განათლებული ადამიანი. ამდენი ისტორია.

გაითვალისწინეთ, რომ მეზღვაური იწვევს იგივე რეაქციას, მაგალითად, ასო K-ს დახატვით, ... და ადამიანის ყოფნის ნებისმიერი სხვა კვალი. აქ გეომეტრია იდეალიზებულია.

თუმცა, ასტრონომმა კამილ ფლამარიონმა (1847-1925) თქვა, რომ ცივილიზაციები ერთმანეთს შორიდან ესალმებიან გეომეტრიის გამოყენებით. მან ამაში დაინახა კომუნიკაციის ერთადერთი სწორი და შესაძლო მცდელობა. ასეთ მარსიანელებს ვაჩვენოთ პითაგორას სამკუთხედები... ისინი თალესით გვიპასუხებენ, ჩვენ ვიეტას შაბლონებით, მათი წრე მოერგება სამკუთხედს, ასე დაიწყო მეგობრობა...

ამ იდეას დაუბრუნდნენ ისეთი მწერლები, როგორებიც არიან ჟიულ ვერნი და სტანისლავ ლემი. 1972 წელს კი Pioneer-ის ზონდზე გეომეტრიული (და არა მხოლოდ) ნიმუშების მქონე ფილები განთავსდა, რომელიც ჯერ კიდევ კვეთს კოსმოსურ სივრცეებს, ახლა ჩვენგან თითქმის 140 ასტრონომიულ ერთეულს (1 I არის დედამიწის საშუალო მანძილი დედამიწიდან) . მზე, ანუ დაახლოებით 149 მილიონი კმ). ფილა ნაწილობრივ დააპროექტა ასტრონომმა ფრენკ დრეიკმა, არამიწიერი ცივილიზაციების რაოდენობის შესახებ საკამათო წესის შემქმნელი.

გეომეტრია საოცარია. ჩვენ ყველამ ვიცით ზოგადი თვალსაზრისი ამ მეცნიერების წარმოშობის შესახებ. ჩვენ (ჩვენ ადამიანებმა) ახლახან დავიწყეთ მიწის (და მოგვიანებით მიწის) გაზომვა ყველაზე უტილიტარული მიზნებისთვის. მანძილების განსაზღვრა, სწორი ხაზების დახატვა, მართი კუთხის მონიშვნა და მოცულობების გამოთვლა თანდათან აუცილებლობად იქცა. აქედან გამომდინარეობს მთელი საქმე გეომეტრია ("დედამიწის გაზომვა"), აქედან გამომდინარე, ყველა მათემატიკა ...

თუმცა, გარკვეული პერიოდის განმავლობაში მეცნიერების ისტორიის ამ მკაფიო სურათმა დაგვიბნელა. მათემატიკა რომ მხოლოდ ოპერატიული მიზნებისთვის იყოს საჭირო, ჩვენ არ ვიქნებით ჩართული მარტივი თეორემების მტკიცებით. ”თქვენ ხედავთ, რომ ეს საერთოდ უნდა იყოს მართალი”, - იტყოდა ვინმე მას შემდეგ, რაც შეამოწმებდა, რომ რამდენიმე მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. რატომ ასეთი ფორმალიზმი?

ქლიავის ღვეზელი გემრიელი უნდა იყოს, კომპიუტერულმა პროგრამამ უნდა იმუშაოს, მანქანამ უნდა იმუშაოს. თუ ლულის ტევადობა ოცდაათჯერ დავთვალე და ყველაფერი რიგზეა, მაშინ სხვა რატომ?

ამასობაში ძველ ბერძნებს გაუჩნდათ აზრი, რომ გარკვეული ფორმალური მტკიცებულებების მოძიება იყო საჭირო.

ასე რომ, მათემატიკა იწყება თალესით (ძვ. წ. 625-547 წწ.). ვარაუდობენ, რომ სწორედ მილეტმა დაიწყო გაკვირვება, რატომ. ჭკვიან ადამიანებს არ კმარა რაღაც ნახეს, რაღაცაში რომ დარწმუნდნენ. მათ დაინახეს მტკიცების საჭიროება, არგუმენტების ლოგიკური თანმიმდევრობა ვარაუდიდან თეზისამდე.

მათ ასევე მეტი სურდათ. ალბათ, თალესმა პირველად სცადა ფიზიკური ფენომენების ახსნა ნატურალისტური გზით, ღვთიური ჩარევის გარეშე. ევროპული ფილოსოფია დაიწყო ბუნების ფილოსოფიით - იმით, რაც უკვე ფიზიკის მიღმა დგას (აქედან სახელწოდებაც: მეტაფიზიკა). მაგრამ ევროპულ ონტოლოგიასა და ბუნებრივ ფილოსოფიას საფუძველი ჩაუყარეს პითაგორელებმა (პითაგორა, დაახლ. 580-ძვ. წ. 500 წ.).

მან დააარსა საკუთარი სკოლა კროტონეში, აპენინის ნახევარკუნძულის სამხრეთით - დღეს ჩვენ მას სექტას დავარქმევთ. მეცნიერება (ამ სიტყვის ამჟამინდელი გაგებით), მისტიკა, რელიგია და ფანტაზია მჭიდროდ არის გადაჯაჭვული. თომას მანმა ძალიან ლამაზად წარმოადგინა მათემატიკის გაკვეთილები გერმანულ გიმნაზიაში რომანში დოქტორი ფაუსტუსი. მარია კურეცკაიასა და ვიტოლდ ვირპშას მიერ თარგმნილი ამ ფრაგმენტში ნათქვამია:

ჩარლზ ვან დორენის საინტერესო წიგნში, ცოდნის ისტორია ისტორიის გარიჟრაჟიდან დღემდე, ძალიან საინტერესო თვალსაზრისი აღმოვაჩინე. ერთ-ერთ თავში ავტორი აღწერს პითაგორას სკოლის მნიშვნელობას. თავის სათაურმა გამაოცა. მასში ნათქვამია: "მათემატიკის გამოგონება: პითაგორაელები".

ჩვენ ხშირად განვიხილავთ მათემატიკური თეორიების აღმოჩენას (მაგ. უცნობი მიწების) თუ გამოგონებას (მაგ. მანქანები, რომლებიც აქამდე არ არსებობდა). ზოგიერთი შემოქმედებითი მათემატიკოსი თავს მკვლევრად მიიჩნევს, სხვები გამომგონებლად ან დიზაინერად, ნაკლებად ხშირად მრიცხველად.

მაგრამ ამ წიგნის ავტორი ზოგადად მათემატიკის გამოგონებაზე წერს.

გაზვიადებიდან ბოდვამდე

ამ გრძელი შესავალი ნაწილის შემდეგ გადავალ საწყისზე. გეომეტრიააღწეროს, თუ როგორ შეიძლება გეომეტრიაზე ზედმეტმა დამოკიდებულებამ შეცდომაში შეიყვანოს მეცნიერი. იოჰანეს კეპლერი ცნობილია ფიზიკასა და ასტრონომიაში, როგორც ციური სხეულების მოძრაობის სამი კანონის აღმომჩენი. პირველი, მზის სისტემის თითოეული პლანეტა მზის გარშემო მოძრაობს ელიფსურ ორბიტაზე, მზე ერთ-ერთ კერაში. მეორეც, რეგულარული ინტერვალებით, მზისგან გამოყვანილი პლანეტის წამყვანი სხივი ხაზავს თანაბარ ველებს. მესამე, მზის გარშემო პლანეტის ბრუნვის პერიოდის კვადრატის თანაფარდობა მისი ორბიტის ნახევრად მთავარი ღერძის კუბთან (ანუ მზიდან საშუალო მანძილი) მუდმივია მზის სისტემის ყველა პლანეტისთვის.

შესაძლოა, ეს იყო მესამე კანონი – მის დასადგენისთვის საჭირო იყო უამრავი მონაცემი და გამოთვლები, რამაც აიძულა კეპლერი გაეგრძელებინა პლანეტების მოძრაობისა და პოზიციის შაბლონების ძებნა. მისი ახალი „აღმოჩენის“ ისტორია ძალზედ სასწავლოა. უძველესი დროიდან ჩვენ აღფრთოვანებული ვიყავით არა მხოლოდ რეგულარული პოლიედრებით, არამედ არგუმენტებით, რომლებიც აჩვენებს, რომ მათგან მხოლოდ ხუთია სივრცეში. სამგანზომილებიან პოლიედრონს რეგულარულს უწოდებენ, თუ მისი სახეები იდენტური რეგულარული მრავალკუთხედებია და თითოეულ წვეროს აქვს იგივე რაოდენობის კიდეები. ილუსტრაციულად, რეგულარული პოლიედრონის თითოეული კუთხე უნდა "იგივე გამოიყურებოდეს". ყველაზე ცნობილი პოლიედონი არის კუბი. ყველას უნახავს ჩვეულებრივი ტერფი.

რეგულარული ტეტრაედონი ნაკლებად ცნობილია და სკოლაში მას რეგულარულ სამკუთხა პირამიდას უწოდებენ. ის ჰგავს პირამიდას. დანარჩენი სამი რეგულარული პოლიედრა ნაკლებად ცნობილია. როდესაც კუბის კიდეების ცენტრებს ვაკავშირებთ, რვაედრონი წარმოიქმნება. დოდეკაედონი და იკოსაედონი უკვე ბურთებს ჰგავს. რბილი ტყავისგან დამზადებული, მათი გათხრა კომფორტული იქნებოდა. მსჯელობა იმის შესახებ, რომ არ არსებობს ჩვეულებრივი პოლიედრები, გარდა ხუთი პლატონური მყარისა, ძალიან კარგია. პირველ რიგში, ჩვენ ვაცნობიერებთ, რომ თუ სხეული რეგულარულია, მაშინ იდენტური რეგულარული მრავალკუთხედების იგივე რიცხვი (მოდით q) უნდა გადაიზარდოს თითოეულ წვეროზე, ეს იყოს p-კუთხედები. ახლა ჩვენ უნდა გვახსოვდეს რა არის კუთხე რეგულარულ მრავალკუთხედში. თუ ვინმეს არ ახსოვს სკოლიდან, შეგახსენებთ, როგორ იპოვოთ სწორი ნიმუში. კუთხის გარშემო ვიმოგზაურეთ. თითოეულ წვეროზე ვახვევთ იმავე კუთხით a. როცა მრავალკუთხედს შემოვუვლით და საწყის წერტილს ვუბრუნდებით, ასეთი შემობრუნებები გავაკეთეთ p და ჯამში 360 გრადუსით გადავუხვიეთ.

მაგრამ α არის 180 გრადუსიანი ავსება იმ კუთხისა, რომლის გამოთვლაც გვინდა და არის

ჩვენ ვიპოვეთ რეგულარული მრავალკუთხედის კუთხის ფორმულა (მათემატიკოსი იტყვის: კუთხის ზომები). მოდით შევამოწმოთ: სამკუთხედში p = 3, არ არის a

Ამგვარად. როდესაც p = 4 (კვადრატი), მაშინ

გრადუსიც კარგია.

რას მივიღებთ პენტაგონისთვის? რა ხდება, როდესაც არის q მრავალკუთხედები, თითოეულ p-ს აქვს იგივე კუთხეები

 გრადუსი დაღმავალი ერთ წვეროზე? თვითმფრინავზე რომ ყოფილიყო, მაშინ ჩამოყალიბდებოდა კუთხე

გრადუსი და არ შეიძლება იყოს 360 გრადუსზე მეტი - იმიტომ რომ შემდეგ მრავალკუთხედები ერთმანეთს ემთხვევა.

თუმცა, რადგან ეს მრავალკუთხედები ხვდებიან სივრცეში, კუთხე სრულ კუთხეზე ნაკლები უნდა იყოს.

და აქ არის უთანასწორობა, საიდანაც ეს ყველაფერი გამომდინარეობს:

გაყავით 180-ზე, გაამრავლეთ ორივე ნაწილი p-ზე, დაალაგეთ (p-2) (q-2) < 4. რა მოყვება? მოდით გავიგოთ, რომ p და q უნდა იყოს ნატურალური რიცხვები და რომ p > 2 (რატომ? და რა არის p?) და ასევე q > 2. არ არსებობს მრავალი გზა, რომ ორი ნატურალური რიცხვის ნამრავლი 4-ზე ნაკლები იყოს. ჩვენ ჩამოვთვლი მათ ყველა. ცხრილში 1.

ნახატებს არ ვდებ, ამ ფიგურების ნახვა ყველას შეუძლია ინტერნეტში... ინტერნეტში... ლირიკულ დიგრესიაზე უარს არ ვიტყვი - ალბათ ახალგაზრდა მკითხველისთვის საინტერესოა. 1970 წელს ვისაუბრე სემინარზე. თემა რთული იყო. ცოტა დრო მქონდა მოსამზადებლად, საღამოობით ვიჯექი. მთავარი სტატია ადგილზე მხოლოდ წასაკითხად იყო. ადგილი მყუდრო იყო, სამუშაო ატმოსფეროთი, კარგი, შვიდზე დაიხურა. შემდეგ პატარძალმა (ახლა ჩემმა მეუღლემ) თავად შემომთავაზა მთელი სტატიის გადაწერა: დაახლოებით ათეული დაბეჭდილი გვერდი. დავაკოპირე (არა, კალმით არა, კალმებიც კი გვქონდა), ლექციამ წარმატებით ჩაიარა. დღეს შევეცადე მეპოვა ეს პუბლიკაცია, რომელიც უკვე ძველია. მახსენდება მხოლოდ ავტორის სახელი... ინტერნეტში ძიებამ დიდხანს გასტანა... სრული თხუთმეტი წუთი. ამაზე ღიმილით და ცოტა გაუმართლებელი სინანულით ვფიქრობ.

ჩვენ ვუბრუნდებით კეპლერა და გეომეტრია. როგორც ჩანს, პლატონმა იწინასწარმეტყველა მეხუთე რეგულარული ფორმის არსებობა, რადგან მას აკლდა რაღაც გამაერთიანებელი, რომელიც მოიცავს მთელ სამყაროს. ალბათ ამიტომაც დაავალა სტუდენტს (Theajtet) მისი ძებნა. როგორც იყო, ისე იყო, რის საფუძველზეც აღმოაჩინეს დოდეკაედონი. პლატონის ამ დამოკიდებულებას პანთეიზმს ვუწოდებთ. ყველა მეცნიერი, ნიუტონამდე, მეტ-ნაკლებად დაემორჩილა მას. უაღრესად რაციონალური მეთვრამეტე საუკუნიდან მოყოლებული, მისი გავლენა მკვეთრად შემცირდა, თუმცა ჩვენ არ უნდა გვრცხვენოდეს იმ ფაქტის, რომ ჩვენ ყველა ასე თუ ისე ვემორჩილებით მას.

მზის სისტემის აშენების კეპლერის კონცეფციაში ყველაფერი სწორი იყო, ექსპერიმენტული მონაცემები თეორიას დაემთხვა, თეორია იყო ლოგიკურად თანმიმდევრული, ძალიან ლამაზი... მაგრამ სრულიად მცდარი. თავის დროზე მხოლოდ ექვსი პლანეტა იყო ცნობილი: მერკური, ვენერა, დედამიწა, მარსი, იუპიტერი და სატურნი. რატომ არის მხოლოდ ექვსი პლანეტა? ჰკითხა კეპლერმა. და რა კანონზომიერება განსაზღვრავს მათ დაშორებას მზიდან? მან ჩათვალა, რომ ყველაფერი ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული, რომ გეომეტრია და კოსმოგონია მჭიდროდ არიან დაკავშირებული ერთმანეთთან. ძველი ბერძნების ნაწერებიდან მან იცოდა, რომ მხოლოდ ხუთი რეგულარული პოლიედრა იყო. მან დაინახა, რომ ექვს ორბიტას შორის ხუთი სიცარიელე იყო. მაშ, იქნებ თითოეული ეს თავისუფალი სივრცე შეესაბამება ზოგიერთ ჩვეულებრივ მრავალედრონს?

რამდენიმეწლიანი დაკვირვებისა და თეორიული მუშაობის შემდეგ მან შექმნა შემდეგი თეორია, რომლის დახმარებითაც საკმაოდ ზუსტად გამოთვალა ორბიტების ზომები, რომელიც წარმოადგინა 1596 წელს გამოცემულ წიგნში "Mysterium Cosmographicum": წარმოიდგინეთ გიგანტური სფერო, რომლის დიამეტრი არის მერკურის ორბიტის დიამეტრი მზის გარშემო მის წლიურ მოძრაობაში. მაშინ წარმოიდგინეთ, რომ ამ სფეროზე არის რეგულარული რვაედრონი, მასზე სფერო, მასზე იკოსაედონი, მასზე ისევ სფერო, მასზე დოდეკაედონი, მასზე სხვა სფერო, მასზე ტეტრაედონი, შემდეგ ისევ სფერო, კუბი. და ბოლოს, ამ კუბზე ბურთია აღწერილი.

კეპლერმა დაასკვნა, რომ ამ თანმიმდევრული სფეროების დიამეტრი იყო სხვა პლანეტების ორბიტების დიამეტრი: მერკური, ვენერა, დედამიწა, მარსი, იუპიტერი და სატურნი. თეორია ძალიან ზუსტი ჩანდა. სამწუხაროდ, ეს დაემთხვა ექსპერიმენტულ მონაცემებს. და რა უკეთესი მტკიცებულება მათემატიკური თეორიის სისწორის შესახებ, ვიდრე მისი შესაბამისობა ექსპერიმენტულ მონაცემებთან ან დაკვირვების მონაცემებთან, განსაკუთრებით „ზეციდან აღებულ“? მე ვაჯამებ ამ გამოთვლებს ცხრილში 2. რა გააკეთა კეპლერმა? ვცადე და ვცადე მანამ, სანამ არ გამოვა, ანუ როცა კონფიგურაცია (სფეროების რიგი) და მიღებული გამოთვლები დაემთხვა დაკვირვების მონაცემებს. აქ არის კეპლერის თანამედროვე ფიგურები და გამოთვლები:

შეიძლება დაემორჩილოს თეორიის მომხიბვლელობას და დაიჯეროს, რომ ცაში გაზომვები არაზუსტია და არა სახელოსნოს სიჩუმეში გაკეთებული გამოთვლები. სამწუხაროდ, დღეს ჩვენ ვიცით, რომ სულ მცირე ცხრა პლანეტაა და რომ შედეგების ყველა დამთხვევა მხოლოდ დამთხვევაა. სამწუხაროა. ისეთი ლამაზი იყო...