მაშ, ვისთვის, ანუ: სცადე იქ, სადაც შეგიძლია - ნაწილი 2

წინა ეპიზოდში ჩვენ განვიხილეთ სუდოკუ, არითმეტიკული თამაში, რომელშიც რიცხვები ძირითადად განლაგებულია სხვადასხვა დიაგრამებში გარკვეული წესების მიხედვით. ყველაზე გავრცელებული ვარიანტია 9×9 ჭადრაკის დაფა, რომელიც დამატებით იყოფა ცხრა 3×3 უჯრედად. რიცხვები 1-დან 9-მდე უნდა იყოს მითითებული მასზე ისე, რომ ისინი არ გაიმეორონ არც ვერტიკალურ რიგში (მათემატიკოსები ამბობენ: სვეტში) და არც ჰორიზონტალურ რიგში (მათემატიკოსები ამბობენ: ზედიზედ) - და, უფრო მეტიც, ისე, რომ ისინი არ იმეორებენ. გაიმეორეთ ნებისმიერი პატარა კვადრატში.

Na ნახ. 1 ჩვენ ვხედავთ ამ თავსატეხს უფრო მარტივ ვერსიაში, რომელიც არის 6 × 6 კვადრატი დაყოფილი 2 × 3 მართკუთხედად. მასში ჩავსვით რიცხვები 1, 2, 3, 4, 5, 6 - ისე, რომ ისინი არ განმეორდეს ვერტიკალურად და არც ჰორიზონტალურად და არც თითოეულ შერჩეულ ექვსკუთხედში.

ვცადოთ ნაჩვენები ზედა მოედანზე. შეგიძლიათ შეავსოთ ის 1-დან 6-მდე რიცხვებით ამ თამაშის წესების მიხედვით? შესაძლებელია - მაგრამ ორაზროვანი. ვნახოთ - დახაზეთ კვადრატი მარცხნივ ან კვადრატი მარჯვნივ.

შეიძლება ითქვას, რომ ეს არ არის თავსატეხის საფუძველი. ჩვენ ჩვეულებრივ ვვარაუდობთ, რომ თავსატეხს აქვს ერთი გამოსავალი. "დიდი" სუდოკუსთვის, 9x9, სხვადასხვა საყრდენის პოვნა რთული ამოცანაა და მისი სრულად გადაჭრის შანსი არ არის.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კავშირი არის წინააღმდეგობრივი სისტემა. ქვედა შუა კვადრატი (ის ქვედა მარჯვენა კუთხეში ნომრით 2) ვერ დასრულდება. რატომ?

გართობა და უკან დახევა

ჩვენ ვთამაშობთ. გამოვიყენოთ ბავშვთა ინტუიცია. მათ მიაჩნიათ, რომ გართობა სწავლის შესავალია. მოდით წავიდეთ კოსმოსში. ჩართული ნახ. 2 ყველა ხედავს ქსელს ტეტრაედრიბურთებიდან, მაგალითად, პინგ-პონგის ბურთებიდან? გავიხსენოთ სკოლის გეომეტრიის გაკვეთილები. სურათის მარცხენა მხარეს ფერები ხსნის რაზეა წებოვანი ბლოკის აწყობისას. კერძოდ, სამი კუთხის (წითელი) ბურთი იქნება წებოვანი ერთში. ამიტომ, ისინი უნდა იყოს იგივე რიცხვი. შესაძლოა 9. რატომ? Და რატომაც არა?

ოჰ, არ მითქვამს დავალებები. ასე ჟღერს: შესაძლებელია თუ არა 0-დან 9-მდე რიცხვების ჩაწერა ხილულ ბადეში ისე, რომ თითოეული სახე შეიცავდეს ყველა რიცხვს? ამოცანა არ არის რთული, მაგრამ რამდენის წარმოდგენა გჭირდებათ! მკითხველს არ გავაფუჭებ სიამოვნებას და გამოსავალს არ მივცემ.

ეს არის ძალიან ლამაზი და დაუფასებელი ფორმა. რეგულარული ოქტაედონი, აგებულია ორი პირამიდისგან (=პირამიდები) კვადრატული ფუძით. როგორც სახელი გვთავაზობს, ოქტაედრონს რვა სახე აქვს.

ოქტაედრონში ექვსი წვეროა. ეწინააღმდეგება კუბირომელსაც აქვს ექვსი სახე და რვა წვერო. ორივე სიმსივნის კიდეები ერთნაირია - თითოეული თორმეტი. ეს ორმაგი მყარი - ეს ნიშნავს, რომ კუბის სახეების ცენტრების შეერთებით ვიღებთ რვაწასიანს, ხოლო რვაკუთხედის ცენტრები მოგვცემს კუბს. ორივე ეს მუწუკები ასრულებს ("რადგან მათ უნდა") ეილერის ფორმულა: წვეროების და სახეების რიცხვის ჯამი 2-ით მეტია კიდეების რაოდენობაზე.

3. პარალელურად პროექციაში მყოფი რეგულარული რვაადა და რვააედრული გისოსი, რომელიც შედგება სფეროებისგან ისე, რომ თითოეულ კიდეს აქვს ოთხი სფერო.

ამოცანა 1. პირველ რიგში, ჩაწერეთ წინა აბზაცის ბოლო წინადადება მათემატიკური ფორმულის გამოყენებით. Ზე ნახ. 3 თქვენ ხედავთ ოქტაედრულ ბადეს, რომელიც ასევე შედგება სფეროებისგან. თითოეულ კიდეს აქვს ოთხი ბურთი. თითოეული სახე არის ათი სფეროსგან შემდგარი სამკუთხედი. პრობლემა დამოუკიდებლად არის დაყენებული: შესაძლებელია თუ არა ბადის წრეებში 0-დან 9-მდე რიცხვების ჩასმა ისე, რომ მყარი სხეულის წებოვნების შემდეგ ყოველი კედელი შეიცავდეს ყველა რიცხვს (გამოდის, რომ გამეორების გარეშე). როგორც ადრე, ამ ამოცანაში ყველაზე დიდი სირთულე არის ის, თუ როგორ გარდაიქმნება ბადე მყარ სხეულად. წერილობით ვერ ავხსნი, ამიტომ გამოსავალს არც აქ ვაძლევ.

4. ორი იკოსაედონი პინგ-პონგის ბურთებიდან. ყურადღება მიაქციეთ სხვადასხვა ფერის სქემას.

უკვე Plato (და ის ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V-IV საუკუნეებში) იცოდა ყველა რეგულარული მრავალწახნაგოვანი: ტეტრაედრონი, კუბი, ოქტაედონი, dodecahedron i icosahedron. საოცარია, როგორ მოხვდა იქ - არც ფანქარი, არც ქაღალდი, არც კალამი, არც წიგნები, არც სმარტფონი, არც ინტერნეტი! მე აქ არ ვისაუბრებ დოდეკაედრონზე. მაგრამ იკოსაედრული სუდოკუ საინტერესოა. ჩვენ ვხედავთ ამ სიმსივნეს ილუსტრაცია 4და მისი ქსელი rys. ცხრა.

5. იკოსაედრის რეგულარული ბადე.

როგორც ადრე, ეს არ არის ბადე იმ გაგებით, რომლითაც გვახსოვს (?!) სკოლიდან, არამედ ბურთებიდან (ბურთებიდან) სამკუთხედების წებოვნება.

ამოცანა 2. რამდენი ბურთია საჭირო ასეთი იკოსაედონის ასაგებად? რჩება თუ არა სწორი შემდეგი მსჯელობა: ვინაიდან თითოეული სახე არის სამკუთხედი, თუ 20 სახე უნდა იყოს, მაშინ საჭიროა 60 სფერო?

6. იკოსაედონის ბადე სფეროებიდან. თითოეული წრე არის, მაგალითად, პინგ-პონგის ბურთი, მაგრამ წრეების აგება იმავე ფერით მონიშნულ წრეებზე ერწყმის ერთს. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს თორმეტი სფერო (= თორმეტი წვერო: წითელი, ლურჯი, მეწამული, ლურჯი და რვა ყვითელი).

ადვილი მისახვედრია, რომ იკოსაედრონში სამი რიცხვი საკმარისი არ არის. უფრო ზუსტად: შეუძლებელია წვეროების ჩამოთვლა 1, 2, 3 რიცხვებით ისე, რომ თითოეულ (სამკუთხა) სახეს ჰქონდეს ეს სამი რიცხვი და არ იყოს გამეორებები. შესაძლებელია თუ არა ოთხი ნომრით? დიახ, შესაძლებელია! მოდით შევხედოთ ბრინჯი. 6 და 7.

7. აი, როგორ დავთვალოთ სფეროები, რომლებიც ქმნიან იკოსაედრონს ისე, რომ ყოველი სახე შეიცავდეს 1, 2, 3, 4-ის გარდა სხვა რიცხვებს. რომელი სხეულებია ნახ. 4 ასე შეღებილია?

ამოცანა 3. ოთხი რიცხვიდან სამი შეიძლება აირჩეს ოთხი გზით: 123, 124, 134, 234. იპოვეთ ხუთი ასეთი სამკუთხედი იკოსაედრონში ნახ. 7 (ისევე დან ილუსტრაციები ერთი).

სამუშაო ადგილი (საჭიროა ძალიან კარგი სივრცითი ფანტაზია). იკოზაედრონს აქვს თორმეტი წვერო, რაც იმას ნიშნავს, რომ მისი დამაგრება შესაძლებელია თორმეტი ბურთიდან (ნახ. 7). გაითვალისწინეთ, რომ არის სამი წვერო (=ბურთები) ეტიკეტირებული 1-ით, სამი 2-ით და ა.შ. ამრიგად, იმავე ფერის ბურთები ქმნიან სამკუთხედს. რა არის ეს სამკუთხედი? იქნებ ტოლგვერდა? ისევ შეხედე ილუსტრაციები ერთი.

შემდეგი დავალება ბაბუას / ბებიას და შვილიშვილს / შვილიშვილს. მშობლებსაც შეუძლიათ საბოლოოდ მოსინჯონ ძალები, მაგრამ მათ მოთმინება და დრო სჭირდებათ.

ამოცანა 5. იყიდეთ თორმეტი (სასურველია 24) პინგ-პონგის ბურთი, დაახლოებით ოთხი ფერის საღებავი, ფუნჯი და სწორი წებო - არ გირჩევთ სწრაფებს, როგორიცაა Superglue ან Droplet, რადგან ისინი ძალიან სწრაფად შრება და საშიშია ბავშვებისთვის. წებო იკოსაედრონზე. ჩაიცვით თქვენი შვილიშვილის მაისური, რომელიც მაშინვე გაირეცხება (ან გადააგდებს). მაგიდას გადააფარეთ ფოლგა (სასურველია გაზეთებით). ფრთხილად შეღებეთ იკოსაედონი ოთხი ფერით 1, 2, 3, 4, როგორც ნაჩვენებია ნახ. ნახ. 7. თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ თანმიმდევრობა - ჯერ გააფერადეთ ბუშტები და შემდეგ წებო. ამავდროულად, პაწაწინა წრეები უნდა დარჩეს შეუღებავი, რათა საღებავი არ მიეკრას საღებავს.

ახლა ყველაზე რთული ამოცანაა (უფრო ზუსტად, მათი მთელი თანმიმდევრობა).

სამუშაო ადგილი (უფრო კონკრეტულად, ზოგადი თემა). დახაზეთ იკოსაედონი, როგორც ტეტრაედონი და რვაედრონი ბრინჯი. 2 და 3 ეს ნიშნავს, რომ თითოეულ კიდეზე ოთხი ბურთი უნდა იყოს. ამ ვარიანტში, ამოცანა არის როგორც შრომატევადი, ასევე ძვირი. დავიწყოთ იმით, თუ რამდენი ბურთი გჭირდებათ. თითოეულ სახეს აქვს ათი სფერო, ამიტომ იკოსაედრონს სჭირდება ორასი? არა! უნდა გვახსოვდეს, რომ ბევრი ბურთი იყოფა. რამდენი კიდე აქვს იკოსაედრონს? ეს შეიძლება უმტკივნეულოდ გამოითვალოს, მაგრამ რისთვის არის ეილერის ფორმულა?

w–k+s=2

სადაც w, k, s არის წვეროების, კიდეების და სახეების რაოდენობა, შესაბამისად. ჩვენ გვახსოვს, რომ w = 12, s = 20, რაც ნიშნავს k = 30. ჩვენ გვაქვს იკოსაედონის 30 კიდე. ამის გაკეთება შეგიძლიათ სხვაგვარად, რადგან თუ არის 20 სამკუთხედი, მაშინ მათ აქვთ მხოლოდ 60 კიდე, მაგრამ ორი მათგანი საერთოა.

მოდით გამოვთვალოთ რამდენი ბურთი გჭირდებათ. თითოეულ სამკუთხედში არის მხოლოდ ერთი შიდა ბურთი - არც ჩვენი სხეულის ზედა ნაწილში და არც კიდეზე. ამრიგად, სულ გვაქვს 20 ასეთი ბურთი. არის 12 მწვერვალი. თითოეულ კიდეს აქვს ორი არავერტექსური ბურთი (ისინი კიდეშია, მაგრამ არა სახის შიგნით). ვინაიდან 30 კიდეა, არის 60 მარმარილო, მაგრამ მათგან ორი საერთოა, რაც ნიშნავს, რომ გჭირდებათ მხოლოდ 30 მარმარილო, ასე რომ თქვენ გჭირდებათ სულ 20 + 12 + 30 = 62 მარმარილო. ბურთების ყიდვა შესაძლებელია მინიმუმ 50 პენიად (ჩვეულებრივ უფრო ძვირად). წებოს ღირებულებას თუ დაამატებთ გამოვა...ბევრი. კარგი შეკვრა მოითხოვს რამდენიმე საათს მტკივნეულ მუშაობას. ისინი ერთად გამოდგება დასასვენებლად გასატარებლად - მაგათ მაგივრად ტელევიზორის ყურების ნაცვლად ვურჩევ.

უკან დახევა 1. ანდჟეი ვაიდას ფილმების სერიაში „წლები, დღეები“ ორი მამაკაცი თამაშობს ჭადრაკს „რადგან მათ როგორმე უნდა გაატარონ დრო სადილამდე“. ეს ხდება გალისიის კრაკოვში. მართლაც: გაზეთები უკვე წაკითხულია (მაშინ 4 გვერდი ჰქონდათ), ტელევიზორი და ტელეფონი ჯერ არ არის გამოგონილი, ფეხბურთის მატჩები არ არის. მოწყენილობა გუბეებში. ასეთ სიტუაციაში ხალხმა თავისთვის მოიფიქრა გასართობი. დღეს ჩვენ გვაქვს ისინი დისტანციური მართვის დაჭერის შემდეგ ...

უკან დახევა 2. მათემატიკის მასწავლებელთა ასოციაციის 2019 წლის შეხვედრაზე ესპანელმა პროფესორმა აჩვენა კომპიუტერული პროგრამა, რომელსაც შეუძლია მყარი კედლების მოხატვა ნებისმიერ ფერში. ცოტა შემზარავი იყო, რადგან მათ მხოლოდ ხელები დახატეს, კინაღამ სხეული მოკვეთეს. ვფიქრობდი: რამხელა სიამოვნება შეგიძლია ასეთი „დაჩრდილვისგან“? ყველაფერს ორი წუთი სჭირდება, მეოთხეზე კი არაფერი გვახსოვს. ამასობაში მოძველებული „ხელსაქმე“ ამშვიდებს და ასწავლის. ვისაც არ სჯერა, ეცადოს.

დავუბრუნდეთ XNUMX საუკუნეს და ჩვენს რეალობას. თუ არ გვინდა დასვენება ბურთების შრომატევადი წებოვნების სახით, მაშინ დავხატავთ მინიმუმ იკოსაედრის ბადეს, რომლის კიდეებს ოთხი ბურთი აქვს. Როგორ გავაკეთო ეს? სწორად დაჭერით rys. ცხრა. ყურადღებიანი მკითხველი უკვე ხვდება პრობლემას:

ამოცანა 7. შესაძლებელია თუ არა ჩამოვთვალოთ ბურთები 0-დან 9-მდე რიცხვებით ისე, რომ ყველა ეს რიცხვი გამოჩნდეს ასეთი იკოსაედონის თითოეულ სახეზე?

რაში გვიხდიან?

დღეს საკუთარ თავს ხშირად ვუსვამთ კითხვას ჩვენი საქმიანობის მიზნის შესახებ და „ნაცრისფერი გადასახადის გადამხდელი“ იკითხავს, ​​რატომ უნდა გადაუხადოს მათემატიკოსებს ასეთი თავსატეხების ამოხსნაში?

პასუხი საკმაოდ მარტივია. ასეთი „თავსატეხები“, თავისთავად საინტერესო, „რაღაც უფრო სერიოზულის ფრაგმენტია“. სამხედრო აღლუმები ხომ რთული სამსახურის მხოლოდ გარეგანი, სანახაობრივი ნაწილია. მხოლოდ ერთ მაგალითს მოვიყვან, მაგრამ დავიწყებ უცნაური, მაგრამ საერთაშორისოდ აღიარებული მათემატიკური საგნით. 1852 წელს ინგლისელმა სტუდენტმა ჰკითხა თავის პროფესორს, შეიძლებოდა თუ არა რუქის ოთხი ფერით შეღებვა ისე, რომ მეზობელი ქვეყნები ყოველთვის სხვადასხვა ფერებში იყოს ნაჩვენები? ნება მომეცით დავამატო, რომ ჩვენ არ მივიჩნევთ „მეზობლად“ მათ, ვინც მხოლოდ ერთ წერტილში ხვდება, როგორიცაა ვაიომინგი და იუტას შტატები აშშ-ში. პროფესორმა არ იცოდა... და პრობლემა ას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში ელოდა გამოსავალს.

8. იკოსაედონი RECO ბლოკებიდან. ფლეშ რეფლექტორები აჩვენებენ რა საერთო აქვს იკოსაედრონს სამკუთხედთან და ხუთკუთხედთან. ხუთი სამკუთხედი იყრის თავს თითოეულ წვეროზე.

ეს მოხდა მოულოდნელად. 1976 წელს ამერიკელმა მათემატიკოსთა ჯგუფმა დაწერა პროგრამა ამ პრობლემის გადასაჭრელად (და მათ გადაწყვიტეს: დიახ, ოთხი ფერი ყოველთვის საკმარისი იქნება). ეს იყო პირველი მტკიცებულება მათემატიკური ფაქტის, რომელიც მოპოვებული იყო „მათემატიკური მანქანის“ დახმარებით – როგორც კომპიუტერს ერქვა ნახევარი საუკუნის წინ (და უფრო ადრეც: „ელექტრონული ტვინი“).

აქ არის სპეციალურად ნაჩვენები "ევროპის რუკა" (ნახ. 9). ის ქვეყნები, რომლებსაც საერთო საზღვარი აქვთ, დაკავშირებულია. რუკის შეღებვა იგივეა, რაც ამ გრაფის წრეების შეღებვა (ე.წ. გრაფიკი) ისე, რომ არცერთი დაკავშირებული წრე არ იყოს იგივე ფერი. ლიხტენშტეინის, ბელგიის, საფრანგეთისა და გერმანიის გადახედვა აჩვენებს, რომ სამი ფერი საკმარისი არ არის. თუ გინდა, მკითხველო, გააფერადე ოთხი ფერით.

9. ვინ ვისთან ესაზღვრება ევროპაში?

დიახ, მაგრამ ღირს თუ არა გადასახადის გადამხდელთა ფული? მოდით შევხედოთ იმავე გრაფიკს ოდნავ განსხვავებულად. დაივიწყეთ, რომ არსებობს სახელმწიფოები და საზღვრები. მოდით, წრეები სიმბოლურად განასახიერონ ინფორმაციის პაკეტები, რომლებიც უნდა გაიგზავნოს ერთი წერტილიდან მეორეზე (მაგალითად, P-დან EST-მდე), ხოლო სეგმენტები წარმოადგენენ შესაძლო კავშირებს, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი გამტარობა. გაგზავნეთ რაც შეიძლება მალე?

ჯერ შევხედოთ ძალიან გამარტივებულ, მაგრამ ასევე ძალიან საინტერესო სიტუაციას მათემატიკური თვალსაზრისით. ჩვენ უნდა გავაგზავნოთ რაღაც S წერტილიდან (= დასაწყისის სახით) M წერტილამდე (= დასრულება) იმავე გამტარუნარიანობის მქონე კავშირის ქსელის გამოყენებით, ვთქვათ 1. ამას ვხედავთ ნახ. 10.

10. კავშირების ქსელი Statsyika Zdrój-დან მეგაპოლისამდე.

წარმოვიდგინოთ, რომ დაახლოებით 89 ბიტი ინფორმაცია უნდა გაიგზავნოს S-დან M-ში. ამ სიტყვების ავტორს მოსწონს მატარებლების პრობლემები, ამიტომ წარმოიდგენს, რომ Stacie Zdrój-ის მენეჯერია, საიდანაც 144 ვაგონი უნდა გაგზავნოს. მეტროპოლიის სადგურამდე. რატომ ზუსტად 144? რადგან, როგორც დავინახავთ, ეს გამოყენებული იქნება მთელი ქსელის გამტარუნარიანობის გამოსათვლელად. ტევადობა არის 1 თითოეულ ლოტში, ე.ი. ერთ მანქანას შეუძლია გაიაროს დროის ერთეულზე (ერთი ინფორმაციის ბიტი, შესაძლოა ასევე გიგაბაიტი).

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ყველა მანქანა ერთდროულად ხვდება M-ში. ყველა იქ ხვდება დროის 89 ერთეულში. თუ მე მაქვს ძალიან მნიშვნელოვანი ინფორმაციის პაკეტი S-დან M-მდე გასაგზავნად, მე მას ვყოფ 144 ერთეულების ჯგუფებად და ვატარებ ისე, როგორც ზემოთ. მათემატიკა იძლევა გარანტიას, რომ ეს იქნება ყველაზე სწრაფი. საიდან გავიგე, რომ 89 გჭირდება? რეალურად ვხვდებოდი, მაგრამ რომ არ გამომეცნო, უნდა გამეგო კირჩჰოფის განტოლებები (გახსოვს ვინმეს? - ეს არის განტოლებები, რომლებიც აღწერს დენის ნაკადს). ქსელის გამტარუნარიანობა არის 184/89, რაც დაახლოებით უდრის 1,62-ს.

სიხარულის შესახებ

სხვათა შორის, მე მომწონს ნომერი 144. ამ ნომრით ავტობუსით სიარული მომეწონა ვარშავაში, ციხესიმაგრის მოედანზე – როცა მის გვერდით არ იყო აღდგენილი სამეფო ციხე. ალბათ ახალგაზრდა მკითხველმა იცის რა არის ათეული. ეს არის 12 ეგზემპლარი, მაგრამ მხოლოდ ხანდაზმულ მკითხველს ახსოვს, რომ ათეული, ე.ი. 122=144, ეს არის ლოტი ე.წ. და ყველა, ვინც მათემატიკა სასკოლო პროგრამაზე ცოტა მეტი იცის, მაშინვე მიხვდება ამას ნახ. 10 ჩვენ გვაქვს ფიბონაჩის ნომრები და რომ ქსელის გამტარუნარიანობა ახლოსაა "ოქროს რიცხვთან"

ფიბონაჩის მიმდევრობაში 144 არის ერთადერთი რიცხვი, რომელიც არის სრულყოფილი კვადრატი. ას ორმოცდაოთხი ასევე "მხიარული რიცხვია". ასეა ინდოელი მოყვარული მათემატიკოსი დატატრეია რამაჩანდრა კაპრეკარი 1955 წელს მან დაასახელა რიცხვები, რომლებიც იყოფა მათი შემადგენელი ციფრების ჯამზე:

თუ იცოდა ადამ მიცკევიჩი, ის აუცილებლად დაწერდა არას ძიადში: „უცნაური დედისგან; მისი სისხლი არის მისი ძველი გმირები / და მისი სახელია ორმოცდაოთხი, მხოლოდ უფრო ელეგანტური: და მისი სახელია ას ორმოცდაოთხი.

სერიოზულად მოეკიდეთ გართობას

იმედი მაქვს, დავარწმუნე მკითხველები, რომ სუდოკუს თავსატეხები კითხვების სახალისო მხარეა, რომელიც ნამდვილად იმსახურებს სერიოზულად მიღებას. აღარ შემიძლია ამ თემის განვითარება. ოჰ, სრული ქსელის გამტარუნარიანობის გაანგარიშება მოწოდებული დიაგრამიდან ნახ. 9 განტოლებათა სისტემის დაწერას დასჭირდებოდა ორი ან მეტი საათი - შესაძლოა ათობით წამიც კი (!) კომპიუტერის მუშაობას.