სტატია არაფერზე

ბავშვობაში მხიბლავდა, ალბათ, ბევრი მკითხველისთვის ცნობილი ამბავი „ფრჩხილიზე წვნიანი“. ბებიაჩემმა (დაბადებიდან XNUMX საუკუნე) მითხრა ეს ვერსიაში: „მოვიდა კაზაკი და წყალი სთხოვა, რადგან ლურსმანი აქვს და მასზე წვნიანს მოამზადებს“. ცნობისმოყვარე დიასახლისმა მას ჭურჭელი წყალი მისცა... და ჩვენ ვიცით, რა მოხდა შემდეგ: „წვნიანი უნდა იყოს მარილიანი, დეიდა, ბებია, მარილი“, შემდეგ მან გარეცხა ხორცი „გემოს გასაუმჯობესებლად“ და ა.შ. ბოლოს „მოხარშული“ ლურსმანი გადაყარა.

ასე რომ, ეს სტატია უნდა ყოფილიყო სივრცის სიცარიელეზე - და ეს ეხება ევროპული აპარატის დაშვებას კომეტა 67P / ჩურიუმოვ-გერასიმენკოზე 12 წლის 2014 ნოემბერს. მე ჯერ კიდევ მათემატიკოსი ვარ. თან როგორ არის მოსწონსс Ნული მათემატიკა?

როგორ არ არსებობს არაფერი?

არ შეიძლება ითქვას, რომ არაფერი არსებობს. ის მაინც არსებობს როგორც ფილოსოფიური, მათემატიკური, რელიგიური და სრულყოფილად სასაუბრო ცნება. ნული ჩვეულებრივი რიცხვია, თერმომეტრზე ნული გრადუსი ასევე ტემპერატურაა და ნულოვანი ბალანსი ბანკში უსიამოვნო, მაგრამ ჩვეულებრივი მოვლენაა. გაითვალისწინეთ, რომ ქრონოლოგიაში არ არსებობს ნულოვანი წელი და ეს იმიტომ ხდება, რომ ნული მათემატიკაში მხოლოდ გვიან შუა საუკუნეებში შევიდა, უფრო გვიან, ვიდრე ბერი დიონისეს მიერ შემოთავაზებული ქრონოლოგია (XNUMX საუკუნე).

უცნაურად საკმარისია, ჩვენ ნამდვილად შეგვეძლო ამ ნულის გარეშე და, შესაბამისად, უარყოფითი რიცხვების გარეშე. ლოგიკის ერთ-ერთ სახელმძღვანელოში ვიპოვე სავარჯიშო: დახატე ან თქვი, როგორ წარმოგიდგენია თევზის არარსებობა. საოცარია, არა? ვინმეს შეუძლია თევზის დახატვა, მაგრამ არა ერთი?

ახლა მოკლედ მათემატიკის საბაზისო კურსი. არსებობის პრივილეგიის მინიჭება ცარიელი სიმრავლისთვის, რომელიც მონიშნულია გადახაზული წრით ∅, აუცილებელი პროცედურაა რიცხვთა სიმრავლისთვის ნულის დამატების ანალოგი. ცარიელი ნაკრები არის ერთადერთი ნაკრები, რომელიც არ შეიცავს ელემენტებს. ასეთი კოლექციები:

მაგრამ არ არსებობს ორი განსხვავებული ცარიელი ნაკრები. ცარიელი ნაკრები შედის ყველა სხვა კომპლექტში:

მართლაც, მათემატიკური ლოგიკის წესები ამბობენ, რომ A სიმრავლე შეიცავს B სიმრავლეს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წინადადება:

ის გულისხმობს

ცარიელი სიმრავლის შემთხვევაში ∅, წინადადება ყოველთვის მცდარია და, ამდენად, ლოგიკის კანონების მიხედვით, იმპლიკამენტი ზოგადად მართალია. ყველაფერი მომდინარეობს ტყუილიდან ("აქ მე გაზრდი კაქტუსს, თუ შემდეგ კლასში გადახვალ ..."). ასე რომ, რადგან ცარიელი ნაკრები შეიცავს თითოეულ დანარჩენს, მაშინ ისინი რომ ორი განსხვავებული იყოს, თითოეული მათგანი შეიცავდა მეორეს. თუმცა, თუ ორი კომპლექტი შეიცავს ერთმანეთს, ისინი ტოლია. ამიტომ: არის მხოლოდ ერთი ცარიელი ნაკრები!

ცარიელი სიმრავლის არსებობის პოსტულატი არ ეწინააღმდეგება მათემატიკის არცერთ კანონს, რატომ არ უნდა გააცოცხლოთ იგი? ფილოსოფიური პრინციპი ე.წოკამის საპარსი» არასაჭირო ცნებების გამორიცხვის ბრძანება, მაგრამ სწორი ცარიელი ნაკრების კონცეფცია ძალიან სასარგებლოა მათემატიკაში. გაითვალისწინეთ, რომ ცარიელ სიმრავლეს აქვს განზომილება -1 (მინუს ერთი) - ნულოვანი განზომილებიანი ელემენტები არის წერტილები და მათი მწირი სისტემები, ერთგანზომილებიანი ელემენტები არის ხაზები და ჩვენ ვისაუბრეთ ძალიან რთულ მათემატიკურ ელემენტებზე ფრაქტალის განზომილებით ფრაქტალების თავში. .

საინტერესოა, რომ მათემატიკის მთელი ნაგებობა: რიცხვები, რიცხვები, ფუნქციები, ოპერატორები, ინტეგრალები, დიფერენციალები, განტოლებები... ერთი ცნებიდან შეიძლება გამოვიდეს - ცარიელი სიმრავლე! საკმარისია ვივარაუდოთ, რომ არის ცარიელი ნაკრები, ახლად შექმნილი ელემენტები შეიძლება გაერთიანდეს ნაკრებებად, რათა შეძლოს შექმენით ყველა მათემატიკა. ასე ააგო გერმანელმა ლოგიკოსმა გოტლობ ფრეგემ ნატურალური რიცხვები. ნული არის სიმრავლეთა კლასი, რომელთა ელემენტები ურთიერთშესაბამისია ცარიელი სიმრავლის ელემენტებთან. ერთი არის სიმრავლეთა კლასი, რომლის ელემენტები ურთიერთშესაბამისია სიმრავლის ელემენტებთან, რომელთა ერთადერთი ელემენტია ცარიელი ნაკრები. ორი არის სიმრავლეთა კლასი, რომლის ელემენტები არის ერთი-ერთზე სიმრავლის ელემენტები, რომლებიც შედგება ცარიელი სიმრავლისგან და სიმრავლე, რომლის ერთადერთი ელემენტია ცარიელი სიმრავლე... და ა.შ. ერთი შეხედვით, ეს რაღაც ძალიან რთულია, მაგრამ სინამდვილეში ასე არ არის.

ლურჯი მოედო ჩემზე

ცხვრის სუნი ასდიოდა და პიტნის სუნი...

ვოიჩეხ მლინარსკი, მოსავლის გოგონა

ძნელი წარმოსადგენია

არაფერი ძნელი წარმოსადგენია. სტანისლავ ლემის მოთხრობაში "როგორ გადაარჩინა სამყარო", დიზაინერმა ტრურლმა ააშენა მანქანა, რომელიც ყველაფერს გააკეთებდა დაწყებული ასოდან. როცა კლაპაუკიუსმა ბრძანა მისი აშენება Nic, მანქანამ დაიწყო სამყაროდან სხვადასხვა საგნების ამოღება - საბოლოო მიზანი ყველაფრის ამოღება. იმ დროისთვის, როცა შეშინებულმა კლაპაუკიუსმა გააჩერა მანქანა, სამყაროდან სამუდამოდ გაქრა გალეიკები, იები, ჩამოკიდება, ჰაკები, რითმები, მცემები, პუფები, საფქვავები, შამფურები, ფილიდრონები და ყინვები. და მართლაც, ისინი სამუდამოდ გაქრნენ ...

იოზეფ ტიშნერი ძალიან კარგად წერდა არაფრის შესახებ თავის მთის ფილოსოფიის ისტორიაში. ჩემი ბოლო შვებულების დროს გადავწყვიტე განმეცადა ეს არარაობა, კერძოდ, წავედი ტორფის ჭაობებში, ნოვი ტარგსა და იაბლონკას შორის პოდალეში. ამ ტერიტორიას პუსტაჩიაც კი ეძახიან. მიდიხარ, მიდიხარ, მაგრამ გზა არ იკლებს – რა თქმა უნდა, ჩვენი მოკრძალებული, პოლონური მასშტაბით. ერთ დღეს კანადის პროვინცია სასკაჩევანში ავტობუსით ავედი. გარეთ სიმინდის ყანა იყო. ნახევარი საათი ვიწექი. როცა გავიღვიძე, ჩვენ მანქანით მივდიოდით იმავე სიმინდის მინდორში... მაგრამ მოიცადეთ, ეს ცარიელია? გარკვეული გაგებით, ცვლილების არარსებობა მხოლოდ სიცარიელეა.

ჩვენ მიჩვეული ვართ ჩვენს გარშემო სხვადასხვა საგნების მუდმივ არსებობას და რაღაც დახუჭული თვალებითაც კი ვერ გაიქცევი. ”მე ვფიქრობ, მაშასადამე ვარ”, - თქვა დეკარტმა. თუ მე უკვე ვიფიქრე რაღაც, მაშინ მე ვარსებობ, რაც ნიშნავს, რომ რაღაც მაინც არსებობს სამყაროში (კერძოდ, მე). არსებობს ის რაც მე მეგონა? ამის განხილვა შესაძლებელია, მაგრამ თანამედროვე კვანტურ მექანიკაში ცნობილია ჰაიზენბერგის პრინციპი: ყოველი დაკვირვება არღვევს დაკვირვებული ობიექტის მდგომარეობას. სანამ არ დავინახავთ Nic ის არ არსებობს და როდესაც ჩვენ ვიწყებთ ყურებას, ობიექტი წყვეტს არსებობას მოსწონს და ხდება რაღაც. აბსურდი ხდება ანთროპული პრინციპი: აზრი არ აქვს კითხვას, როგორი იქნებოდა სამყარო ჩვენ რომ არ ვარსებობდეთ. სამყარო არის ის, რაც ჩვენ გვეჩვენება. იქნებ სხვა არსებები დაინახონ დედამიწა, როგორც კუთხოვანი?

პოზიტრონი (ასეთი დადებითი ელექტრონი) არის ხვრელი სივრცეში, "არ არსებობს ელექტრონი". განადგურების პროცესში ელექტრონი ხტება ამ ხვრელში და "არაფერი ხდება" - არ არის ხვრელი, არ არის ელექტრონი. მე გამოვტოვებ უამრავ ხუმრობას შვეიცარიულ ყველის ხვრელების შესახებ ("რაც მეტი მაქვს, მით ნაკლები ..."). ცნობილმა კომპოზიტორმა ჯონ კეიჯმა უკვე ისე გამოიყენა თავისი იდეები, რომ შეასრულა (?) მუსიკალური ნაწარმოები (?), რომელშიც ორკესტრი გაუნძრევლად ზის 4 წუთი 33 წამი და, რა თქმა უნდა, არაფერს უკრავს. ”ოთხი წუთი და ოცდაცამეტი წამი არის ორას სამოცდაცამეტი, 273, ხოლო მინუს 273 გრადუსი არის აბსოლუტური ნული, რომელზეც ყველა მოძრაობა ჩერდება”, - განმარტა კომპოზიტორმა (?).

გაფილტრე ნულამდე, არაფერი, ნიკი, ნიკი, არაფერი, ნული!

იერჟი ანჯეი ვაიდას ფილმში წლების განმავლობაში,

დღეები მიდიან"

რაც შეეხება ყველას?

ბევრ ადამიანს (უბრალო ფერმერებიდან დაწყებული გამოჩენილი ფილოსოფოსებით) აინტერესებდა არსებობის ფენომენი. მათემატიკაში სიტუაცია მარტივია: არის რაღაც თანმიმდევრული.

იგი გაუჩინარდა მარგინალურ მინდვრებში

სიმინდის ყვავილებში, სარეველებსა და ლომის პირში ...

ისე, ასეთი რაღაცეები ხდება

განსაკუთრებით მოსავლის აღებისას და რთველის დროს

განსაკუთრებით…

ვოიჩეხ მლინარსკი, მოსავლის გოგონა

ყველაფერი არაფრის მეორე უკიდურესობაშია. მათემატიკაში ჩვენ ეს ვიცით ყველაფერი არ არსებობს. უბრალოდ ზედმეტად არაზუსტი წარმოდგენა, რომ მისი არსებობა დაპირისპირებისგან თავისუფალი იქნებოდა. ამის გაგება შეიძლება ძველი პარადოქსის მაგალითით: „თუ ღმერთი ყოვლისშემძლეა, მაშინ შექმენი ქვა, რომ აიღო? მათემატიკური მტკიცებულება იმისა, რომ არ შეიძლება იყოს ყველა სიმრავლის სიმრავლე, ემყარება თეორემას მომღერალი-ბერშტეინი, რომელიც ამბობს, რომ "უსასრულო რიცხვი" (მათემატიკურად: რაოდენობრივი რიცხვი) მოცემული სიმრავლის ყველა წევრის სიმრავლე მეტია ამ სიმრავლის ელემენტების რაოდენობაზე.

თუ კომპლექტს აქვს ელემენტები, მაშინ მას აქვს 2ⁿ ქვეჯგუფები; მაგალითად, როდესაც = 3 და ნაკრები შედგება {1, 2, 3}-ისგან, მაშინ არსებობს შემდეგი ქვესიმრავლეები:

• სამი ორ ელემენტიანი ნაკრები: თითოეულ მათგანს აკლია 1, 2, 3 რიცხვებიდან ერთი,
• ერთი ცარიელი ნაკრები,
• სამი ერთელემენტიანი ნაკრები,
• მთელი ნაკრები {1,2,3}

- მხოლოდ რვა, 2³და მკითხველებს, რომლებმაც ახლახან დაამთავრეს სკოლა, მინდა გავიხსენო შესაბამისი ფორმულა:

ამ ფორმულის თითოეული ნიუტონის სიმბოლო განსაზღვრავს k-ელემენტების სიმრავლეს -ელემენტების სიმრავლეს.

მათემატიკაში ბინომიალური კოეფიციენტები ჩნდება ბევრ სხვა ადგილას, მაგალითად, შემცირებული გამრავლების საინტერესო ფორმულებში:

და მათი ზუსტი ფორმით, მათი ურთიერთდამოკიდებულება ბევრად უფრო საინტერესოა.

ძნელი გასაგებია, რა არის - რაც შეეხება ლოგიკასა და მათემატიკას - და რა არის ყველაფერი. არგუმენტები არარსებობის შესახებ ზუსტად იგივეა, რაც ვინი პუხის, რომელმაც თავაზიანად ჰკითხა თავის სტუმარს, ვეფხვს, მოსწონთ თუ არა ვეფხვებს თაფლი, მუწუკები და ეკლები? ”ვეფხვებს ყველაფერი მოსწონთ”, - უპასუხა მან, საიდანაც კუბუსმა დაასკვნა, რომ თუ მათ ყველაფერი მოსწონთ, მაშინ მათაც მოსწონთ იატაკზე ძილი, ამიტომ მას, ვინის, შეუძლია საწოლში დაბრუნება.

კიდევ ერთი არგუმენტი რასელის პარადოქსი. ქალაქში არის დალაქი, რომელიც იპარსავს ყველა მამაკაცს, ვინც თავს არ იპარსავს. თავს იპარსავს? ორივე პასუხი ეწინააღმდეგება იმ პირობას, რომ ის და მხოლოდ ისინი, ვინც ამას თავად არ აკეთებენ, იკლავენ.

ვეძებთ ყველა კოლექციის კოლექციას

დასასრულს, მე მივცემ ჭკვიან, მაგრამ ყველაზე მათემატიკურ მტკიცებულებას, რომ არ არსებობს ყველა კომპლექტის ნაკრები (არ უნდა აგვერიოს).

პირველ რიგში, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ნებისმიერი არა ცარიელი სიმრავლისთვის X, შეუძლებელია იპოვოთ ორმხრივი უნიკალური ფუნქცია, რომელიც ასახავს ამ სიმრავლეს მისი ქვესიმრავლეების სიმრავლეს P(X). ასე რომ, დავუშვათ, რომ ეს ფუნქცია არსებობს. ავღნიშნოთ ტრადიციული ფ. რა არის f x-დან? ეს არის კოლექცია. xf ეკუთვნის x-ს? ეს უცნობია. ან უნდა ან არა. მაგრამ ზოგიერთი x-ისთვის ის მაინც ისეთი უნდა იყოს, რომ არ მიეკუთვნებოდეს x-ის f-ს. კარგად, მაშინ განიხილეთ ყველა x-ის სიმრავლე, რომლისთვისაც x არ ეკუთვნის f(x-ს). აღნიშნეთ იგი (ეს სიმრავლე) A-ით. იგი შეესაბამება X სიმრავლის a ელემენტს. ეკუთვნის თუ არა a A-ს? დავუშვათ, რომ უნდა. მაგრამ A არის სიმრავლე, რომელიც შეიცავს x-ის მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც არ ეკუთვნის f(x)-ს... აბა, იქნებ ის არ ეკუთვნის A-ს? მაგრამ A სიმრავლე შეიცავს ამ თვისების ყველა ელემენტს და, შესაბამისად, A. დასტურის დასასრულს.

მაშასადამე, ყველა სიმრავლის სიმრავლე რომ იყოს, ის თავისთავად იქნებოდა თავის ქვესიმრავლე, რაც წინა მსჯელობის მიხედვით შეუძლებელია.

ფუ, არა მგონია, ბევრ მკითხველს უნახავს ეს მტკიცებულება. უფრო სწორად, მე მოვიყვანე ეს იმის საჩვენებლად, თუ რა უნდა გაეკეთებინათ მათემატიკოსებს მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს, როდესაც მათ დაიწყეს საკუთარი მეცნიერების საფუძვლების შესწავლა. აღმოჩნდა, რომ პრობლემები იქ დგას, სადაც მათ არავინ ელოდა. უფრო მეტიც, მთელი მათემატიკისთვის, ამ მსჯელობებს საფუძვლების შესახებ არ აქვს მნიშვნელობა: რაც არ უნდა მოხდეს სარდაფებში - მათემატიკის მთელი შენობა მყარ კლდეზე დგას.

ამასობაში ზედა...

კიდევ ერთ მორალს აღვნიშნავთ სტანისლავ ლემის მოთხრობებიდან. ერთ-ერთი მოგზაურობისას იონ ტიჩიმ მიაღწია პლანეტას, რომლის მკვიდრებმა, ხანგრძლივი ევოლუციის შემდეგ, საბოლოოდ მიაღწიეს განვითარების უმაღლეს საფეხურს. ისინი ყველანი ძლიერები არიან, ყველაფერი შეუძლიათ, ყველაფერი ხელთ აქვთ... და არაფერს აკეთებენ. ქვიშაზე დაწვნენ და თითებს შორის ასხამენ. "თუ ყველაფერი შესაძლებელია, არ ღირს", - უხსნიან ისინი შეძრწუნებულ იჯონს. ეს ჩვენს ევროპულ ცივილიზაციას არ დაემართოს...