შიფრები და ჯაშუშები

დღევანდელ მათემატიკურ კუთხეში ვაპირებ გადავხედო თემას, რომელიც განვიხილეთ ბავშვთა ეროვნული ფონდის ყოველწლიურ სამეცნიერო ბანაკში ბავშვებისთვის. ფონდი ეძებს სამეცნიერო ინტერესების მქონე ბავშვებსა და ახალგაზრდებს. თქვენ არ უნდა იყოთ ძალიან ნიჭიერი, მაგრამ თქვენ უნდა გქონდეთ "მეცნიერული ზოლი". ძალიან კარგი სასკოლო შეფასებები არ არის საჭირო. სცადეთ, შეიძლება მოგეწონოთ. თუ თქვენ ხართ დაწყებითი სკოლის ან საშუალო სკოლის მოსწავლე, მიმართეთ. როგორც წესი, მშობლები ან სკოლა აკეთებენ ანგარიშს, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის. იპოვეთ ფონდის ვებგვერდი და გაიგეთ.

სკოლაში სულ უფრო ხშირად საუბრობენ „კოდირებაზე“, რაც ადრე „პროგრამირების“ სახელით ცნობილ საქმიანობას გულისხმობს. ეს არის ჩვეულებრივი პროცედურა თეორიული მასწავლებლებისთვის. თხრიან ძველ მეთოდებს, ახალ სახელს აძლევენ და „პროგრესი“ თავისით ხდება. არსებობს რამდენიმე სფერო, სადაც ასეთი ციკლური მოვლენა ხდება.

შეიძლება დავასკვნათ, რომ ვაფასებ დიდაქტიკას. არა. ცივილიზაციის განვითარებაში ხანდახან ვუბრუნდებით იმას, რაც იყო, მიტოვებული იყო და ახლა აღორძინდება. მაგრამ ჩვენი კუთხე მათემატიკურია და არა ფილოსოფიური.

ამა თუ იმ თემის კუთვნილება ასევე ნიშნავს „საერთო სიმბოლოებს“, საერთო საკითხებს, გამონათქვამებსა და იგავებს. ის, ვინც შესანიშნავად ისწავლა პოლონური ენა "შჩებრჟეზინში დიდი სქელია, ლერწმებში ხოჭო ზუზუნებს", მაშინვე გამოაშკარავდება უცხო სახელმწიფოს ჯაშუშად, თუ არ უპასუხებს კითხვას, რას აკეთებს კოდალა. რა თქმა უნდა, ის მახრჩობს!

ეს არ არის მხოლოდ ხუმრობა. 1944 წლის დეკემბერში გერმანელებმა დაიწყეს ბოლო შეტევა არდენებში დიდი ხარჯებით. მათ მოახდინეს ჯარისკაცების მობილიზება, რომლებიც თავისუფლად საუბრობდნენ ინგლისურად, რათა ჩაეშალათ მოკავშირეთა ჯარების მოძრაობა, მაგალითად, გზაჯვარედინებზე არასწორი მიმართულებით წარმართვით. ცოტაოდენი გაკვირვების შემდეგ ამერიკელებმა ჯარისკაცებს დაუსვეს საეჭვო კითხვები, რომლებზეც პასუხი აშკარა იქნებოდა ტეხასის, ნებრასკიდან ან საქართველოდან მცხოვრები ადამიანისთვის და წარმოუდგენელი მათთვის, ვინც იქ არ გაიზარდა. რეალობის იგნორირებამ პირდაპირ განაპირობა სიკვდილით დასჯა.

აზრამდე. მკითხველს ვურჩევ ლუკაშ ბადოვსკის და ზასლავ ადამაშეკის წიგნს "ლაბორატორია მაგიდის უჯრაში - მათემატიკა". ეს მშვენიერი წიგნია, რომელიც ბრწყინვალედ აჩვენებს, რომ მათემატიკა ნამდვილად გამოდგება რაღაცისთვის და რომ „მათემატიკური ექსპერიმენტი“ არ არის ცარიელი სიტყვები. იგი მოიცავს, სხვა საკითხებთან ერთად, აღწერილ კონსტრუქციას „მუყაოს ენიგმა“ - მოწყობილობა, რომლის შექმნას მხოლოდ თხუთმეტი წუთი დაგვჭირდება და რომელიც მუშაობს როგორც სერიოზული შიფრული აპარატი. თავად იდეა იმდენად ცნობილი იყო, ხსენებულმა ავტორებმა ლამაზად შეამუშავეს და ცოტას შევცვლი და უფრო მათემატიკური სამოსით შემოვიხვევ.

hacksaws

ვარშავის გარეუბანში, ჩემი დაჩის სოფლის ერთ-ერთ ქუჩაზე, ტროტუარი ცოტა ხნის წინ დაიშალა "ტრლინკას" - ექვსკუთხა მოსაპირკეთებელი ფილებისგან. მგზავრობა არასასიამოვნო იყო, მაგრამ მათემატიკოსს სული გაუხარდა. თვითმფრინავის რეგულარული (ანუ რეგულარული) მრავალკუთხედებით დაფარვა ადვილი არ არის. ეს შეიძლება იყოს მხოლოდ სამკუთხედები, კვადრატები და რეგულარული ექვსკუთხედები.

შეიძლება ცოტა ვიხუმრე ამ სულიერ სიხარულზე, მაგრამ ექვსკუთხედი ლამაზი ფიგურაა. მისგან შეგიძლიათ შექმნათ საკმაოდ წარმატებული დაშიფვრის მოწყობილობა. გეომეტრია დაგეხმარებათ. ექვსკუთხედს აქვს ბრუნვის სიმეტრია - ის გადაფარავს თავის თავს, როდესაც ბრუნავს 60 გრადუსით. ველი მონიშნულია, მაგალითად, ასო A მარცხენა ზედა ნაწილში ნახ. 1 ამ კუთხით შემობრუნების შემდეგ ის ასევე მოხვდება A უჯრაში - და იგივე სხვა ასოებით. მაშ ასე, მოდი ამოვჭრათ ბადედან ექვსი კვადრატი, თითოეულს განსხვავებული ასო. ამ გზით მიღებულ ბადეს ვდებთ ფურცელზე. თავისუფალ ექვს ველში შეიყვანეთ ტექსტის ექვსი ასო, რომლის დაშიფვრა გვინდა. მოვატრიალოთ ფურცელი 60 გრადუსით. გამოჩნდება ექვსი ახალი ველი - შეიყვანეთ ჩვენი შეტყობინების შემდეგი ექვსი ასო.

ბრინჯი. 1. მათემატიკის სიხარულის ტრილინკები.

მარჯვენა ნახ. 1 ჩვენ გვაქვს ტექსტი დაშიფრული ასე: "სადგურზე არის უზარმაზარი მძიმე ორთქლის ლოკომოტივი".

ახლა პატარა სასკოლო მათემატიკა გამოდგება. რამდენი გზით შეიძლება ორი რიცხვის დალაგება ერთმანეთთან შედარებით?

რა სულელური კითხვაა? ორისთვის: ან ერთი წინ ან მეორე.

ჯარიმა. და სამი ნომერი?

ასევე არ არის რთული ყველა პარამეტრის ჩამოთვლა:

123, 132, 213, 231, 312, 321 წ.

ისე, ეს არის ოთხი! ჯერ კიდევ შეიძლება ნათლად ჩამოყალიბდეს. გამოიცანით შეკვეთის წესი, რომელიც მე დავაყენე:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

როდესაც ციფრები ხუთია, ჩვენ ვიღებთ 120 შესაძლო პარამეტრს. მოდით დავურეკოთ მათ პერმუტაციები. n რიცხვის შესაძლო პერმუტაციების რაოდენობა არის ნამრავლი 1 2 3 ... n, ე.წ ძლიერი და მონიშნულია ძახილის ნიშნით: 3!=6, 4!=24, 5!=120. შემდეგი რიცხვისთვის 6 გვაქვს 6!=720. ჩვენ ამას გამოვიყენებთ იმისათვის, რომ ჩვენი ექვსკუთხა შიფრული ფარი უფრო რთული გავხადოთ.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების პერმუტაციას 0-დან 5-მდე, მაგალითად 351042. ჩვენს ექვსკუთხა სკრამბლინგ დისკს აქვს ტირე შუა ველში - ისე, რომ ის შეიძლება მოთავსდეს "ნულ პოზიციაზე" - ტირე ზემოთ, როგორც ნახ. 1. დისკს ამგვარად ვდებთ ფურცელზე, რომელზედაც უნდა დავწეროთ ჩვენი მოხსენება, მაგრამ მაშინვე არ ვწერთ, არამედ ვატრიალებთ სამჯერ 60 გრადუსით (ანუ 180 გრადუსით) და შევიყვანთ 60 ასო. ცარიელი ველები. ჩვენ ვუბრუნდებით საწყის პოზიციას. ციფერბლატს ხუთჯერ ვაბრუნებთ 60 გრადუსით, ანუ ჩვენი ციფერბლატის ხუთი „კბილით“. ჩვენ ვბეჭდავთ. შემდეგი მასშტაბის პოზიცია არის პოზიცია, რომელიც ბრუნავს 0 გრადუსით ნულის გარშემო. მეოთხე პოზიცია არის XNUMX გრადუსი, ეს არის საწყისი პოზიცია.

გესმის რა მოხდა? ჩვენ გვაქვს დამატებითი შესაძლებლობა - გავართულოთ ჩვენი "მანქანა" შვიდასზე მეტჯერ! ასე რომ, ჩვენ გვაქვს "ავტომატის" ორი დამოუკიდებელი პოზიცია - ბადის არჩევანი და პერმუტაციის არჩევანი. ბადის არჩევა შესაძლებელია 66 = 46656 გზით, პერმუტაციით 720. ეს იძლევა 33592320 შესაძლებლობას. 33 მილიონზე მეტი შიფრი! თითქმის ცოტა ნაკლები, იმიტომ ზოგიერთი ბადე არ შეიძლება ამოჭრა ქაღალდიდან.

ქვედა ნაწილში ნახ. 1 ჩვენ გვაქვს ასეთი კოდირებული შეტყობინება: "მე გამოგიგზავნით ოთხ პარაშუტის დივიზიას". ადვილი გასაგებია, რომ ამის შესახებ მტერს არ უნდა მივცეთ საშუალება. მაგრამ გაიგებს ის ამას:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

თუნდაც 351042 ხელმოწერით?

ჩვენ ვაშენებთ Enigma-ს, გერმანულ შიფრულ მანქანას

ბრინჯი. 2. ჩვენი დაშიფვრის აპარატის საწყისი დაყენების მაგალითი.

პერმუტაციები (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

როგორც უკვე აღვნიშნე, ასეთი მუყაოს აპარატის შექმნის იდეა წიგნს "ლაბორატორია უჯრაში - მათემატიკა" მმართებს. ჩემი "კონსტრუქცია" გარკვეულწილად განსხვავდება მისი ავტორების მიერ მოწოდებულისგან.

შიფრატორ მანქანას, რომელსაც გერმანელები იყენებდნენ ომის დროს, გენიალურად მარტივი პრინციპი ჰქონდა, გარკვეულწილად მსგავსი, რაც ჩვენ ვნახეთ ექვსკუთხა შიფრით. ყოველ ჯერზე ერთი და იგივე: შესვენება მძიმე დავალება წერილი სხვა ასო. ის უნდა იყოს შესაცვლელი. როგორ გავაკეთოთ ეს იმისათვის, რომ გქონდეთ კონტროლი?

მოდით ავირჩიოთ არა რაიმე პერმუტაცია, არამედ ისეთი, რომელსაც აქვს 2 სიგრძის ციკლი. მარტივად რომ ვთქვათ, რაღაც „გადერიპოლუკის“ მსგავსი, რომელიც აღწერილია აქ რამდენიმე თვის წინ, მაგრამ მოიცავს ანბანის ყველა ასოს. შევთანხმდეთ 24 ასოზე - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q გარეშე. რამდენი ასეთი პერმუტაციაა? ეს არის საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულების დავალება (მათ დაუყოვნებლივ უნდა შეეძლოთ მისი გადაჭრა). Რამდენი? Ბევრი? რამდენიმე ათასი? დიახ:

1912098225024001185793365052108800000000 (არც ვცადოთ ამ ნომრის წაკითხვა). "ნულოვანი" პოზიციის დაყენების უამრავი შესაძლებლობა არსებობს. და ეს შეიძლება იყოს რთული.

ჩვენი მანქანა შედგება ორი მრგვალი დისკისგან. ერთ-ერთ მათგანზე, რომელიც ჯერ კიდევ დგას, ასოებია დაწერილი. ეს ცოტათი ჰგავს ძველი ტელეფონის აკრიფეს, სადაც აკრიფეთ ნომერი აკრიფეთ აკრიფეთ ბოლომდე. Rotary არის მეორე ფერის სქემით. უმარტივესი გზაა მათი ჩვეულებრივი კორპის დადება ქინძისთავზე. კორპის ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ თხელი დაფა ან სქელი მუყაო. ლუკაშ ბადოვსკი და ზასლავ ადამასეკი გვირჩევენ ორივე დისკის მოთავსებას CD ყუთში.

წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა დაშიფროთ სიტყვა ARMATY (ბრინჯი. 2 და 3). დააყენეთ მოწყობილობა ნულოვანი პოზიციაზე (ისარი ზემოთ). ასო A შეესაბამება F. შემოატრიალეთ შიდა წრე ერთი ასო მარჯვნივ. ჩვენ გვაქვს ასო R დაშიფვრისთვის, ახლა ის შეესაბამება A-ს. შემდეგი ბრუნვის შემდეგ ვხედავთ, რომ ასო M შეესაბამება U. შემდეგი ბრუნვა (მეოთხე დიაგრამა) იძლევა A - P შესაბამისობას. მეხუთე ციფერბლატზე გვაქვს T. - ა. და ბოლოს (მეექვსე წრე) Y – Y მტერი ალბათ ვერ გამოიცნობს, რომ ჩვენი CFCFA-ები მისთვის საშიში იქნება. და "ჩვენი" როგორ წაიკითხავს დისპეტჩერს? მათ უნდა ჰქონდეთ ერთი და იგივე მანქანა, იგივე "დაპროგრამებული", ანუ იგივე პერმუტაციით. შიფრი იწყება ნულოვანი პოზიციიდან. ასე რომ, F-ის მნიშვნელობა არის A. დაატრიალეთ აკრიფეთ საათის ისრის მიმართულებით. ასო A ახლა ასოცირდება R-თან. ის ატრიალებს ციფერბლატს მარჯვნივ და U ასოს ქვეშ პოულობს M-ს და ა.შ. შიფრის მოხელე გენერლისკენ გარბის: "გენერალ, მე ვატყობინებ, იარაღი მოდის!"

ბრინჯი. 3. ჩვენი ნაშრომის ენიგმას მოქმედების პრინციპი.

ბრინჯი. 3. ჩვენი ნაშრომის ენიგმას მოქმედების პრინციპი.

ასეთი პრიმიტიული ენიგმის შესაძლებლობებიც კი გასაოცარია. ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ სხვა გამომავალი პერმუტაციები. ჩვენ შეგვიძლია - და აქ კიდევ უფრო მეტი შესაძლებლობა გვაქვს - არა ერთი "სერიფით" რეგულარულად, არამედ გარკვეული, ყოველდღიურად ცვალებადი თანმიმდევრობით, ექვსკუთხედის მსგავსი (მაგალითად, ჯერ სამი ასო, შემდეგ შვიდი, შემდეგ რვა, ოთხი ... .. და ა.შ.).

როგორ გამოიცანი?! და მაინც პოლონელი მათემატიკოსებისთვის (მარიან რიევსკი, ჰენრიკ ზიგალსკი, იჟი რუზიცკი) მოხდა. ამგვარად მოპოვებული ინფორმაცია ფასდაუდებელი იყო. ადრე მათ არანაკლებ მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ჩვენი თავდაცვის ისტორიაში. ვაცლავ სერპინსკი i სტანისლავ მაზურკევიჩირომელმაც 1920 წელს დაარღვია რუსული ჯარების კოდექსი. ჩაჭრილმა კაბელმა პილსუდსკის საშუალება მისცა ცნობილი მანევრი გაეკეთებინა მდინარე ვეფსიდან.

მახსოვს ვასლავ სიერპინსკი (1882-1969). ის მათემატიკოსს ჰგავდა, რომლისთვისაც გარესამყარო არ არსებობდა. 1920 წლის გამარჯვებაში მონაწილეობაზე ვერ ისაუბრა როგორც სამხედრო, ისე ... პოლიტიკური მიზეზების გამო (პოლონეთის სახალხო რესპუბლიკის ხელისუფლებას არ მოსწონდა ისინი, ვინც საბჭოთა კავშირისგან გვიცავდა).

ბრინჯი. 4. პერმუტაცია (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

ბრინჯი. 5. ლამაზი გაფორმება, მაგრამ არ არის შესაფერისი დაშიფვრისთვის. ძალიან რეგულარულად.

ამოცანა 1. Na ნახ. 4 თქვენ გაქვთ კიდევ ერთი პერმუტაცია Enigma-ს შესაქმნელად. დააკოპირეთ ნახატი ქსეროგრაფზე. ააშენეთ მანქანა, დააკოპირეთ თქვენი სახელი და გვარი. ჩემი CWONUE JTRYGT. თუ თქვენი შენიშვნების კონფიდენციალურობა გჭირდებათ, გამოიყენეთ Cardboard Enigma.

ამოცანა 2. დაშიფრეთ თქვენი ნანახი ერთ-ერთი „მანქანის“ სახელი და გვარი, მაგრამ (ყურადღება!) დამატებითი გართულებით: ვახვევთ არა ერთი ღერი მარჯვნივ, არამედ სქემის მიხედვით {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - ანუ, ჯერ ერთი, შემდეგ ორი, შემდეგ სამი, შემდეგ 2, შემდეგ ისევ 1-ით, შემდეგ 2-ით და ა.შ., ასეთი "ტალღური" . დარწმუნდით, რომ ჩემი სახელი და გვარი დაშიფრულია, როგორც CZTTAK SDBITH. ახლა გესმით, რამდენად ძლიერი იყო Enigma მანქანა?

პრობლემის გადაჭრა საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულებისთვის. რამდენი კონფიგურაციის ვარიანტია Enigma-სთვის (ამ ვერსიაში, როგორც აღწერილია სტატიაში)? ჩვენ გვაქვს 24 ასო. ჩვენ ვირჩევთ ასოების პირველ წყვილს - ეს შეიძლება გაკეთდეს

გზები. შემდეგი წყვილის არჩევა შესაძლებელია

გზები, მეტი

და ა.შ. შესაბამისი გამოთვლების შემდეგ (ყველა რიცხვი უნდა გამრავლდეს), ვიღებთ

151476660579404160000

შემდეგ გაყავით ეს რიცხვი 12-ზე! (12 ფაქტორიალური), რადგან ერთი და იგივე წყვილების მიღება შესაძლებელია სხვადასხვა თანმიმდევრობით. ასე რომ, საბოლოოდ ჩვენ ვიღებთ "სულ"

316234143225,

ეს სულ რაღაც 300 მილიარდზე მეტია, რაც დღევანდელი სუპერკომპიუტერებისთვის გასაოცრად დიდი რიცხვი არ ჩანს. თუმცა, თუ მხედველობაში მიიღება თავად პერმუტაციების შემთხვევითი თანმიმდევრობა, ეს რიცხვი მნიშვნელოვნად იზრდება. ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვიფიქროთ სხვა ტიპის პერმუტაციებზე.

აგრეთვე იხილე: