მოგზაურობა მათემატიკის არარეალურ სამყაროში
ეს სტატია დავწერე ერთ-ერთ გარემოში, კომპიუტერული მეცნიერების კოლეჯში ლექციისა და პრაქტიკის შემდეგ. თავს ვიცავ ამ სკოლის მოსწავლეების კრიტიკისგან, მათი ცოდნის, მეცნიერებისადმი დამოკიდებულებისგან და რაც მთავარია: სწავლების უნარებისგან. ამას... არავინ ასწავლის მათ.
რატომ ვარ ასე თავდაცვითი? მარტივი მიზეზის გამო - მე ვარ იმ ასაკში, როდესაც, ალბათ, ჩვენს გარშემო სამყარო ჯერ კიდევ არ არის გასაგები. იქნებ მე ვასწავლი მათ ცხენების აღკაზმულობას და აღკაზმვას და არა მანქანის მართვას? იქნებ მათ ვასწავლო კალმით წერა? მიუხედავად იმისა, რომ ადამიანზე უკეთესი წარმოდგენა მაქვს, თავს „მიმდევრად“ ვთვლი, მაგრამ…
ბოლო დრომდე, საშუალო სკოლაში, რთულ რიცხვებზე საუბრობდნენ. და სწორედ ამ ოთხშაბათს მოვედი სახლში, დავტოვე - თითქმის არცერთ სტუდენტს ჯერ არ გაუგია რა არის და როგორ გამოიყენოს ეს რიცხვები. ზოგი ყველა მათემატიკას ისე უყურებს, როგორც ბატი შეღებილ კარზე. მაგრამ მე ასევე გულწრფელად გამიკვირდა, როცა მითხრეს, როგორ მესწავლა. მარტივად რომ ვთქვათ, ლექციის ყოველი საათი ორი საათია საშინაო დავალება: სახელმძღვანელოს კითხვა, მოცემულ თემაზე ამოცანების ამოხსნის სწავლა და ა.შ. ამ გზით მომზადების შემდეგ მივდივართ სავარჯიშოებამდე, სადაც ყველაფერს ვაუმჯობესებთ... სასიამოვნოდ, სტუდენტებს, როგორც ჩანს, ეგონათ, რომ ლექციაზე ჯდომა - ყველაზე ხშირად ფანჯრიდან ყურება - უკვე ცოდნის თავში შეყვანის გარანტიაა.
გაჩერდი! საკმარისია ეს. მე აღვწერ ჩემს პასუხს კითხვაზე, რომელიც მივიღე კურსზე ბავშვთა ეროვნული ფონდის სტიპენდიანტებთან, ინსტიტუტიდან, რომელიც მხარს უჭერს ნიჭიერ ბავშვებს მთელი ქვეყნის მასშტაბით. კითხვა (უფრო სწორად წინადადება) იყო:
- იქნებ არარეალურ ციფრებზე გვითხრათ რამე?
- რა თქმა უნდა, - ვუპასუხე მე.
რიცხვების რეალობა
„მეგობარი სხვა მე ვარ, მეგობრობა არის 220 და 284 რიცხვების თანაფარდობა“, - თქვა პითაგორამ. აქ საქმე ისაა, რომ 220 რიცხვის გამყოფთა ჯამი არის 284, ხოლო 284 რიცხვის გამყოფების ჯამი არის 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
კიდევ ერთი საინტერესო დამთხვევა 220 და 284 რიცხვებს შორის არის ეს: ჩვიდმეტი უმაღლესი მარტივი რიცხვი არის 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, და 59.
მათი ჯამი არის 2x220, ხოლო კვადრატების ჯამი 59x284.
Პირველი. არ არსებობს "რეალური რიცხვის" კონცეფცია. ეს თითქოს სპილოების შესახებ სტატიის წაკითხვის შემდეგ გეკითხებით: „ახლა ჩვენ ვითხოვთ არასპილოებს“. არსებობს მთლიანი და არამთელი, რაციონალური და ირაციონალური, მაგრამ არ არსებობს არარეალური. კონკრეტულად: რიცხვებს, რომლებიც არ არის რეალური, არ ეწოდება არასწორი. მათემატიკაში „რიცხვების“ მრავალი სახეობა არსებობს და ისინი ერთმანეთისგან განსხვავდებიან, მაგალითად - ზოოლოგიური შედარება რომ ავიღოთ - სპილო და მიწის ჭია.
მეორეც, ჩვენ შევასრულებთ ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება უკვე იცით, რომ აკრძალულია: უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვების ამოღება. ისე, მათემატიკა გადალახავს ასეთ ბარიერებს. მაინც აქვს აზრი? მათემატიკაში, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა მეცნიერებაში, თეორია სამუდამოდ შედის თუ არა ცოდნის საცავში, დამოკიდებულია ... მის გამოყენებაზე. თუ ის გამოუსადეგარია, მაშინ ის ხვდება ნაგავში, შემდეგ ცოდნის ისტორიის რაღაც ნაგავში. იმ რიცხვების გარეშე, რომელზეც ამ სტატიის ბოლოს ვსაუბრობ, შეუძლებელია მათემატიკის განვითარება. მაგრამ დავიწყოთ რამდენიმე წვრილმანით. რა არის რეალური რიცხვები, თქვენ იცით. ისინი ავსებენ რიცხვითი წრფეს მჭიდროდ და ხარვეზების გარეშე. თქვენ ასევე იცით რა არის ნატურალური რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ყველა მათგანი არ ჯდება მეხსიერება ყველაზე დიდიც კი. მათ ასევე აქვთ ლამაზი სახელი: ბუნებრივი. მათ აქვთ ბევრი საინტერესო თვისება. როგორ მოგწონთ ეს:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 15 +2 42 +2 98 +2 123 +2 179 +2 206 +2 220 +2 = 32 11 +2 46 +2 92 +2 129 +2 175 +2 210 +2 218 +2
13 15 +3 42 +3 98 +3 123 +3 179 +3 206 +3 220 +3 = 33 11 +3 46 +3 92 +3 129 +3 175 +3 210 +3 218 +3
14 15 +4 42 +4 98 +4 123 +4 179 +4 206 +4 220 +4 = 34 11 +4 46 +4 92 +4 129 +4 175 +4 210 +4 218 +4
15 15 +5 42 +5 98 +5 123 +5 179 +5 206 +5 220 +5 = 35 11 +5 46 +5 92 +5 129 +5 175 +5 210 +5 218 +5
16 15 +6 42 +6 98 +3 123 +6 179 +6 206 +6 220 +6 = 36 11 +6 46 +6 92 +6 129 +6 175 +6 210 +6 218 +6
17 15 +7 42 +7 98 +3 123 +7 179 +7 206 +7 220 +7 = 37 11 +7 46 +7 92 +7 129 +7 175 +7 210 +7 218 +7
„ბუნებრივია დაინტერესება ნატურალური რიცხვებით“, თქვა კარლ ლინდენჰოლმმა და ლეოპოლდ კრონეკერმა (1823–1891) ლაკონურად: „ღმერთმა შექმნა ნატურალური რიცხვები - ყველაფერი დანარჩენი ადამიანის საქმეა!“ წილადებს (მათემატიკოსებს რაციონალურ რიცხვებს უწოდებენ) ასევე აქვთ საოცარი თვისებები:
და თანასწორობაში:
თქვენ შეგიძლიათ, დაწყებული მარცხენა მხრიდან, გახეხეთ პლიუსები და შეცვალოთ ისინი გამრავლების ნიშნებით - და თანასწორობა ჭეშმარიტი დარჩება:
და ასე შემდეგ.
მოგეხსენებათ, a/b წილადებისთვის, სადაც a და b არის მთელი რიცხვები და b ≠ 0, ამბობენ. რაციონალური რიცხვი. მაგრამ მხოლოდ პოლონურად უწოდებენ საკუთარ თავს ასე. ისინი საუბრობენ ინგლისურ, ფრანგულ, გერმანულ და რუსულ ენაზე. რაციონალური რიცხვი. ინგლისურად: რაციონალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები ეს ირაციონალურია, ირაციონალური. ჩვენ ასევე ვსაუბრობთ პოლონურად ირაციონალურ თეორიებზე, იდეებსა და საქმეებზე - ეს არის სიგიჟე, წარმოსახვითი, აუხსნელი. ამბობენ, ქალებს თაგვების ეშინიათ - ასე ირაციონალური არაა?
ძველად რიცხვებს სული ჰქონდათ. თითოეული რაღაცას ნიშნავდა, თითოეული რაღაცის სიმბოლო იყო, თითოეული ასახავდა სამყაროს ამ ჰარმონიის ნაწილაკს, ანუ ბერძნულად კოსმოსს. სიტყვა „კოსმოსი“ ზუსტად ნიშნავს „წესრიგს, წესრიგს“. ყველაზე მნიშვნელოვანი იყო ექვსი (სრულყოფილი რიცხვი) და ათი, ზედიზედ 1+2+3+4 რიცხვების ჯამი, რომელიც შედგებოდა სხვა რიცხვებისგან, რომელთა სიმბოლიკა დღემდეა შემორჩენილი. ასე რომ, პითაგორამ ასწავლა, რომ რიცხვები არის ყველაფრის დასაწყისი და წყარო და მხოლოდ აღმოჩენა ირაციონალური რიცხვები მოაქცია პითაგორას მოძრაობა გეომეტრიისკენ. სკოლიდან ვიცით მსჯელობა რომ
√2 არის ირაციონალური რიცხვი
დავუშვათ, რომ არსებობს: და რომ ეს წილადი არ შეიძლება შემცირდეს. კერძოდ, p და q კენტია. გამოვყოთ კვადრატი: 2q2=p2. რიცხვი p არ შეიძლება იყოს კენტი, მას შემდეგ p2 ასევე იქნება და ტოლობის მარცხენა მხარე არის 2-ის ჯერადი. აქედან გამომდინარე, p არის ლუწი, ანუ p = 2r, შესაბამისად p2= 4r2. ჩვენ ვამცირებთ განტოლებას 2q2= 4r2 2-ით ვიღებთ q2= 2r2 და ჩვენ ვხედავთ, რომ q ასევე უნდა იყოს ლუწი, რაც ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ ასე არ არის. შედეგად წარმოქმნილი წინააღმდეგობა ადასტურებს მტკიცებულებას - ეს ფორმულა ხშირად გვხვდება ყველა მათემატიკურ წიგნში. ეს არაპირდაპირი მტკიცებულება სოფისტების საყვარელი ხრიკია.
ამ უკიდეგანობას პითაგორელები ვერ მიხვდნენ. ყველაფერი უნდა იყოს აღწერილი ციფრებით, ხოლო კვადრატის დიაგონალს, რომელიც ნებისმიერს შეუძლია ქვიშაზე ჯოხით დახატოს, არ აქვს, ანუ გაზომვადი, სიგრძე. "ჩვენი რწმენა ამაო იყო", - როგორც ჩანს, პითაგორელები ამბობენ. Როგორ თუ? ეს ერთგვარი... ირაციონალურია. გაერთიანება სექტანტური მეთოდებით ცდილობდა თავის გადარჩენას. ვინც გაბედავს თავისი არსებობის გამხელას ირაციონალური რიცხვები, სიკვდილით უნდა დაესაჯა და, როგორც ჩანს, პირველი სასჯელი თავად ოსტატმა შეასრულა.
მაგრამ „ფიქრმა უვნებლად ჩაიარა“. ოქროს ხანა დადგა. ბერძნებმა დაამარცხეს სპარსელები (მარათონი 490, ბლოკი 479). განმტკიცდა დემოკრატია, გაჩნდა ფილოსოფიური აზროვნების ახალი ცენტრები და ახალი სკოლები. პითაგორელები კვლავ ებრძოდნენ ირაციონალურ რიცხვებს. ზოგი ქადაგებდა: ჩვენ ვერ გავიგებთ ამ საიდუმლოს; ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ ვიფიქროთ და გავაოცოთ Uncharted. ეს უკანასკნელნი უფრო პრაგმატულები იყვნენ და არ სცემდნენ პატივს მისტერიას. ამ დროს გაჩნდა ორი გონებრივი კონსტრუქცია, რამაც შესაძლებელი გახადა ირაციონალური რიცხვების გაგება. ის ფაქტი, რომ ჩვენ დღეს საკმარისად კარგად გვესმის, ეკუთვნის ევდოქსს (ძვ. წ. V ს.) და მხოლოდ მე-XNUMX საუკუნის ბოლოს გერმანელმა მათემატიკოსმა რიჩარდ დედეკინდმა მისცა ევდოქსის თეორიას სათანადო განვითარება მკაცრი მოთხოვნების შესაბამისად. მათემატიკური ლოგიკა.
ფიგურების მასა ან წამება
შეგეძლო რიცხვების გარეშე ცხოვრება? თუნდაც რა ცხოვრება იქნებოდა... მაღაზიაში უნდა წავსულიყავით ჯოხით ფეხსაცმლის საყიდლად, რომელიც მანამდე ფეხის სიგრძე გავზომეთ. ”მე მინდა ვაშლი, აჰ, აქ არის!” – ბაზარზე გამყიდველებს ვაჩვენებდით. "რა მანძილია მოდლინიდან ნოვი დვურ მაზოვიეცკიმდე"? "Საკმაოდ ახლოს!"
რიცხვები გამოიყენება გასაზომად. მათი დახმარებით ბევრ სხვა ცნებასაც გამოვხატავთ. მაგალითად, რუკის მასშტაბი აჩვენებს, თუ რამდენად შემცირდა ქვეყნის ფართობი. ორი-ერთზე მასშტაბი, ან უბრალოდ 2, გამოხატავს იმ ფაქტს, რომ რაღაც გაორმაგდა ზომაში. ვთქვათ მათემატიკურად: თითოეულ ჰომოგენურობას შეესაბამება რიცხვი - მისი მასშტაბი.
სამუშაო. ჩვენ გავაკეთეთ ქსეროგრაფიული ასლი, რამდენჯერმე გავადიდეთ გამოსახულება. შემდეგ გადიდებული ფრაგმენტი კვლავ გადიდდა b-ჯერ. რა არის ზოგადი გადიდების მასშტაბი? პასუხი: a × b გამრავლებული b-ზე. ეს სასწორები უნდა გამრავლდეს. "მინუს ერთი" რიცხვი, -1, შეესაბამება ერთ სიზუსტეს, რომელიც არის ცენტრში, ანუ ბრუნავს 180 გრადუსით. რა რიცხვს შეესაბამება 90 გრადუსიანი შემობრუნება? ასეთი რიცხვი არ არსებობს. არის, არის... უფრო სწორად, მალე იქნება. მზად ხართ მორალური წამებისთვის? გაბედეთ და აიღეთ კვადრატული ფესვი მინუს ერთი. ვუსმენ? რა არ შეგიძლია? ბოლოს და ბოლოს, მე გითხარი, იყავი მამაცი. ამოიღეთ! ჰეი, კარგი, გაიყვანე, გაიყვანე... მე დაგეხმარები... აი: -1 ახლა, როცა გვაქვს, ვცადოთ გამოვიყენოთ... რა თქმა უნდა, ახლა შეგვიძლია ყველა უარყოფითი რიცხვის ფესვების ამოღება, რადგან მაგალითი.:
√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1
"მიუხედავად იმისა, თუ რა ფსიქიკური ტანჯვა მოჰყვება მას." ეს არის ის, რასაც წერდა ჯიროლამო კარდანო 1539 წელს, ცდილობდა დაეძლია ფსიქიკური სირთულეები, რომლებიც დაკავშირებული იყო - როგორც მას მალე ეწოდა - წარმოსახვითი რაოდენობები. მან ჩათვალა ეს ...
...სამუშაო. გაყავით 10 ორ ნაწილად, რომლის ნამრავლი არის 40. მახსოვს, რომ წინა ეპიზოდიდან ასეთი რამ დაწერა: რა თქმა უნდა შეუძლებელია. თუმცა, მოდით ასე მოვიქცეთ: გავყოთ 10 ორ ტოლ ნაწილად, თითოეული 5-ის ტოლი. გავამრავლოთ - გამოვიდა 25. მიღებულ 25-ს ახლა გამოვაკლოთ 40, თუ გნებავთ და მიიღებთ -15-ს. ახლა შეხედეთ: √-15 დამატებული და გამოკლებული 5-ს გაძლევთ 40-ის ნამრავლს. ეს არის რიცხვები 5-√-15 და 5 + √-15. შედეგის გადამოწმება კარდანომ შემდეგნაირად განხორციელდა:
„მიუხედავად იმისა, თუ რა გულისტკივილი მოჰყვება მას, გაამრავლეთ 5 + √-15 5-√-15-ზე. ჩვენ ვიღებთ 25 - (-15), რაც უდრის 25 + 15. ასე რომ, ნამრავლი არის 40 .... ნამდვილად რთულია“.
აბა, რამდენია: (1 + √-1) (1-√-1)? გავამრავლოთ. გახსოვდეთ, რომ √-1 × √-1 = -1. დიდი. ახლა უფრო რთული ამოცანაა: a + b√-1-დან ab√-1-მდე. Რა მოხდა? რა თქმა უნდა, ასე: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
რა არის ამაში საინტერესო? მაგალითად, ის ფაქტი, რომ ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ გამონათქვამები, რომლებიც „ადრე არ ვიცოდით“. შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ამისთვის2-b2 გახსოვთ ფორმულა2+b2 ეს არ იყო, რადგან ეს არ შეიძლებოდა ყოფილიყო. ნამდვილ რიცხვთა დომენში მრავალწევრი2+b2 ეს გარდაუვალია. „მინუს ერთის“ „ჩვენი“ კვადრატული ფესვი ავღნიშნოთ i ასოთი.2= -1. ეს არის "არარეალური" მარტივი რიცხვი. ეს არის ის, რაც აღწერს თვითმფრინავის 90 გრადუსიან შემობრუნებას. რატომ? Ყველაფრის შემდეგ,2= -1 და ერთი 90 გრადუსიანი და მეორე 180 გრადუსიანი ბრუნვის შერწყმა იძლევა 45 გრადუსიან ბრუნვას. რა ტიპის როტაცია არის აღწერილი? აშკარად XNUMX გრადუსიანი შემობრუნება. რას ვგულისხმობ? ცოტა უფრო რთულია:
(-ᲛᲔ)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
ასე რომ -i ასევე აღწერს 90 გრადუსიან ბრუნვას, ზუსტად i-ის ბრუნვის საპირისპირო მიმართულებით. რომელია მარცხენა და რომელი მარჯვენა? თქვენ უნდა დანიშნოთ შეხვედრა. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ რიცხვი i განსაზღვრავს ბრუნვას იმ მიმართულებით, რომელსაც მათემატიკოსები დადებითად თვლიან: საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. რიცხვი -i აღწერს ბრუნვას იმ მიმართულებით, სადაც მაჩვენებლები მოძრაობენ.
მაგრამ არსებობს თუ არა ისეთი რიცხვები, როგორიცაა i და -i? არიან! ჩვენ უბრალოდ გავაცოცხლეთ ისინი. ვუსმენ? რომ ისინი მხოლოდ ჩვენს თავში არსებობენ? აბა, რას უნდა ველოდოთ? ყველა სხვა რიცხვიც მხოლოდ ჩვენს გონებაში არსებობს. ჩვენ უნდა ვნახოთ გადარჩება თუ არა ჩვენი ახალშობილთა რიცხვი. უფრო ზუსტად, ლოგიკურია თუ არა დიზაინი და გამოადგება თუ არა რაიმეს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ ჩემი სიტყვა, რომ ყველაფერი რიგზეა და რომ ეს ახალი ნომრები ნამდვილად სასარგებლოა. რიცხვებს, როგორიცაა 3+i, 5-7i, უფრო ზოგადად: a+bi ეწოდება კომპლექსურ რიცხვებს. მე გაჩვენე, როგორ შეგიძლია მათი მიღება თვითმფრინავის დატრიალებით. მათი შეყვანა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით: როგორც წერტილები სიბრტყეში, როგორც რამდენიმე მრავალწევრი, როგორც გარკვეული რიცხვითი მასივები ... და ყოველ ჯერზე ისინი ერთნაირია: განტოლება x2 +1=0 ელემენტი არ არის... ჰოკუს პოკუსი უკვე არის!!!! ვიხალისოთ და ვიხალისოთ!!!
ტურის დასასრული
ამით დასრულდა ჩვენი პირველი ტური ყალბი ნომრების ქვეყანაში. სხვა არამიწიერი რიცხვებიდან ასევე აღვნიშნავ მათ, რომლებსაც უსასრულო რიცხვი აქვთ წინ და არა უკან (მათ 10-ადიკს უწოდებენ, ჩვენთვის უფრო მნიშვნელოვანია p-adic, სადაც p არის მარტივი რიცხვი). მაგალითი X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
მოდით დავთვალოთ X გთხოვთ2. როგორც? რა მოხდება, თუ გამოვთვლით რიცხვის კვადრატს, რომელსაც მოჰყვება უსასრულო რიცხვი? აბა, იგივე მოვიქცეთ. ჩვენ ვიცით, რომ x2 = X.
მოდი ვიპოვოთ სხვა ასეთი რიცხვი წინ უსასრულო რიცხვით, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. მინიშნება: რიცხვის კვადრატი, რომელიც მთავრდება ექვსზე, ასევე მთავრდება ექვსზე. რიცხვის კვადრატი, რომელიც მთავრდება 76-ით, ასევე მთავრდება 76-ით. რიცხვის კვადრატი, რომელიც მთავრდება 376-ით, ასევე მთავრდება 376-ით. რიცხვის კვადრატი, რომელიც მთავრდება 9376-ით, ასევე მთავრდება 9376-ით. XNUMX-ზე… ასევე არის რიცხვები, რომლებიც იმდენად მცირეა, რომ პოზიტიური ყოფნისას ისინი უფრო მცირე რჩებიან, ვიდრე ნებისმიერი სხვა დადებითი რიცხვი. ისინი იმდენად პაწაწინა, რომ ზოგჯერ საკმარისია მათი კვადრატი ნულის მისაღებად. არის რიცხვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ a × b = b × a პირობას. ასევე არის უსასრულო რიცხვები. რამდენი ნატურალური რიცხვია? უსასრულოდ ბევრი? კი მაგრამ რამდენი? როგორ შეიძლება ეს გამოიხატოს რიცხვად? პასუხი: უსასრულო რიცხვებიდან ყველაზე პატარა; იგი აღინიშნება ლამაზი ასოებით: A და დამატებულია ნულოვანი ინდექსით A0 , ალეფ-ნულოვანი.
ასევე არის რიცხვები, რომლებიც ჩვენ არ ვიცით, რომ არსებობენ... ან რომელთაც შეგიძლიათ დაიჯეროთ ან არ დაიჯეროთ, როგორც გინდათ. და მსგავსზე საუბრისას: იმედი მაქვს, რომ თქვენ მაინც მოგწონთ არარეალური ნომრები, ფანტასტიკური სახეობების ნომრები.
