რატომ არ ვყოფთ ნულზე?
ინფორმაციის
მკითხველს შეიძლება გაუკვირდეს, რატომ ვუძღვნი მთელ სტატიას ასეთ ბანალურ საკითხს? მიზეზი არის სტუდენტების (!) შემაძრწუნებელი რაოდენობა, რომლებიც შემთხვევით ატარებენ ოპერაციას სახელწოდებით. და არა მარტო სტუდენტები. ხანდახან ვიჭერ და მასწავლებლებს. რას შეძლებენ ასეთი მასწავლებლების მოსწავლეები მათემატიკაში? ამ ტექსტის დაწერის უშუალო მიზეზი იყო საუბარი მასწავლებელთან, რომლისთვისაც ნულზე გაყოფა პრობლემა არ იყო...
ნულთან, დიახ, არაფრის უსიამოვნების გარდა, რადგან ჩვენ ნამდვილად არ გვჭირდება მისი გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ჩვენ არ მივდივართ საყიდლებზე ნულოვანი კვერცხებისთვის. "ოთახში ერთი ადამიანია" რაღაცნაირად ბუნებრივად ჟღერს და "ნულოვანი ხალხი" ხელოვნურად ჟღერს. ენათმეცნიერები ამბობენ, რომ ნული ენობრივი სისტემის მიღმაა.
ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ნულის გარეშე საბანკო ანგარიშებზეც: უბრალოდ გამოვიყენოთ - როგორც თერმომეტრზე - წითელი და ლურჯი დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის (გაითვალისწინეთ, რომ ტემპერატურისთვის ბუნებრივია წითელი ფერის გამოყენება დადებითი რიცხვებისთვის, ხოლო საბანკო ანგარიშებისთვის. პირიქით არის, რადგან დებეტმა უნდა გამოიწვიოს გაფრთხილება, ამიტომ წითელი რეკომენდირებულია).
ნულის ნატურალურ რიცხვად შეყვანით ჩვენ შევეხებით დიფერენციაციის პრობლემას კარდინალური ნომრები od საყოფაცხოვრებო. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. ფარგლებში.
რიცხვის სიმძლავრე იგივეა, რაც იმ ადგილის რაოდენობა, სადაც ის დგას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის უკვე არის თანმიმდევრობით 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…..
სინგტონის ნაკრებების რაოდენობა მეორე ადგილზეა, ორი ელემენტის მქონე კომპლექტების რაოდენობა მესამეა და ა.შ. უნდა ავხსნათ, რატომ, მაგალითად, ნულიდან არ ვითვლით სპორტსმენების ადგილებს შეჯიბრებებში. შემდეგ პირველი ადგილის მფლობელი ვერცხლის მედალს მიიღებდა (ოქრო მიდიოდა ნულოვან ადგილზე) და ა.შ. ფეხბურთშიც მსგავს პროცედურას იყენებდნენ - არ ვიცი, მკითხველებმა იციან თუ არა, რომ "ლიგა ერთი" ნიშნავს " მიჰყვება საუკეთესოს." "და ნულ ლიგას უწოდებენ "მაიორ ლიგას".
ზოგჯერ გვესმის არგუმენტი, რომ ნულიდან უნდა დავიწყოთ, რადგან ეს მოსახერხებელია IT ადამიანებისთვის. ამ მოსაზრებების გაგრძელებით, უნდა შეიცვალოს კილომეტრის განმარტება - ის უნდა იყოს 1024 მ, რადგან ეს არის ბაიტების რაოდენობა კილობაიტში (მე მივმართავ კომპიუტერულ მეცნიერთათვის ცნობილ ხუმრობას: ”რა განსხვავებაა პირველკურსელსა და კომპიუტერული მეცნიერების სტუდენტი და ამ ფაკულტეტის მეხუთე კურსის სტუდენტი? რომ კილობაიტი არის 1000 კილობაიტი, ბოლო - რომ კილომეტრი არის 1024 მეტრი")!
კიდევ ერთი თვალსაზრისი, რომელიც უკვე სერიოზულად უნდა იქნას მიღებული, არის ეს: ჩვენ ყოველთვის ნულიდან ვზომავთ! საკმარისია სახაზავზე, საყოფაცხოვრებო სასწორზე, თუნდაც საათზე შეხედოთ ნებისმიერ სასწორს. ვინაიდან ჩვენ ვზომავთ ნულიდან და დათვლა შეიძლება გავიგოთ, როგორც გაზომვა უგანზომილებიანი ერთეულით, მაშინ უნდა დავთვალოთ ნულიდან.
მარტივი საქმეა, მაგრამ...
დავტოვოთ ზოგადი მსჯელობა და დავუბრუნდეთ ნულზე გაყოფას. საქმე მარტივია და მარტივი იქნებოდა რომ არა... მერე რა? ვიფიქროთ და ვცადოთ. რამდენი შეიძლება იყოს - ერთი გაყოფილი ნულზე? ვნახოთ: 1/0 = x. გავამრავლოთ ორივე მხარე მარცხენა მხარის მნიშვნელზე.
ვიღებთ 1=0. რაღაც არასწორია! Რა მოხდა? აჰ გამოიცანი! ვარაუდი, რომ არსებობს ერთიანობის და ნულის კოეფიციენტი, იწვევს წინააღმდეგობას. და თუ ერთი ვერ გაიყოფა ნულზე, მაშინ სხვა რიცხვი შეიძლება. თუ, მკითხველო, მხრებს იჩეჩავ და გაინტერესებს, რატომ წერს ავტორი (ანუ მე) ასეთ ლანძღვაზე, მაშინ... ძალიან მიხარია!
ფორმულა 0/0 = 0 შეიძლება დაცული იყოს ჯიუტად, მაგრამ ის ეწინააღმდეგება წესს, რომ რიცხვის თავისთავად გაყოფის შედეგი ერთის ტოლია. აბსოლუტურად, მაგრამ საკმაოდ განსხვავებულია ისეთი სიმბოლოები, როგორიცაა 0/0, °/° და მსგავსი გამოთვლებით. ისინი არ ნიშნავს რაიმე რიცხვს, მაგრამ არის სიმბოლური აღნიშვნები გარკვეული ტიპების კონკრეტული მიმდევრობისთვის.
ელექტროტექნიკის წიგნში აღმოვაჩინე საინტერესო შედარება: ნულზე გაყოფა ისეთივე საშიშია, როგორც მაღალი ძაბვის ელექტროენერგია. ეს ნორმალურია: Ohm-ის კანონი ამბობს, რომ ძაბვის შეფარდება წინააღმდეგობის ტოლია: V = U / R. წინააღმდეგობა რომ იყოს ნული, თეორიულად უსასრულო დენი მიედინება გამტარში და დაწვავს ყველა შესაძლო გამტარს.
ერთხელ დავწერე ლექსი ნულზე გაყოფის საშიშროებაზე კვირის ყოველი დღისთვის. მახსოვს, რომ ყველაზე დრამატული დღე იყო ხუთშაბათი, მაგრამ სამწუხაროა მთელი ჩემი სამუშაო ამ სფეროში.
როცა რაღაცას ყოფ ნულზე
ორშაბათს ძალიან ადრე
კვირა რა მოხდა
თქვენ უკვე სასტიკად დამარცხდით.
როცა სამშაბათს ნაშუადღევს
ნულს აყენებ მნიშვნელში
მაშინ გეტყვი, ცდები
ცუდი მათემატიკოსი!
როდესაც ნულის გავლით, გარყვნილების გზით,
ოთხშაბათს გინდა დაშორება
უამრავ უბედურებაში შეგხვდებათ
თავში თივა და წყალი გაქვს!
ვიღაც ბარტეკი ჩვენთან იყო.
ის ეწინააღმდეგებოდა წესებს.
ხუთშაბათს იგი იყოფა ნულზე.
ის ჩვენს შორის აღარ არის!
თუ უცნაური სურვილი შეგიპყრობს
პარასკევს გავყოთ ნულზე
გულწრფელი ვიქნები, გულწრფელი ვიქნები:
ამ შაბათ-კვირის ცუდი დასაწყისი.
როცა ის ნულის ტოლია, სადღაც შაბათს
გამყოფი იქნება შენი (არა თამამი)
ეკლესიის გალავნის ქვეშ დაიჩოქეთ.
ეს არის თქვენი აღდგომა.
ტირის ქვეშ ნული გინდა?
დაისვენეთ კვირას
მოიტანეთ ცარცი, შავი დაფა.
დაწერეთ: ის არ იყოფა ნულზე!
ნული ასოცირდება სიცარიელესთან და არარაობასთან. მართლაც, ის მათემატიკაში მოვიდა, როგორც სიდიდე, რომელიც, როდესაც რომელიმეს დაემატება, არ ცვლის მას: x + 0 = x. მაგრამ ახლა ნული ჩნდება რამდენიმე სხვა მნიშვნელობებში, განსაკუთრებით როგორც მასშტაბის დაწყება. თუ ფანჯრის გარეთ არც დადებითი ტემპერატურაა და არც ყინვა, მაშინ ... ეს არის ნული, რაც არ ნიშნავს რომ ტემპერატურა საერთოდ არ არის. ნულოვანი კლასის ძეგლი ის არ არის, რომელიც კარგა ხანია დანგრეულია და უბრალოდ არ არსებობს. პირიქით, ეს არის ვაველის, ეიფელის კოშკის და თავისუფლების ქანდაკების მსგავსი.
ისე, ნულის მნიშვნელობა პოზიციურ სისტემაში ძნელად შეიძლება გადაჭარბებული იყოს. იცი, მკითხველო, რამდენი ნული აქვს ბილ გეიტსს საბანკო ანგარიშზე? არ ვიცი, მაგრამ ნახევარი მინდა. როგორც ჩანს, ნაპოლეონ ბონაპარტმა შენიშნა, რომ ადამიანები ნულებივით არიან: ისინი აზრს პოზიციით იძენენ. ანდჟეი ვაიდას ნაწარმოებში, როგორც წლები, როგორც დღეები გადიან, ვნებიანი მხატვარი იერჟი ფეთქავს: „ფილისტერი ნულია, ნიჰილი, არაფერი, არაფერი, ნიჰილ, ნული“. მაგრამ ნული შეიძლება იყოს კარგი: „ნულოვანი გადახრა ნორმიდან“ ნიშნავს, რომ ყველაფერი კარგად მიდის და ასე გააგრძელე!
დავუბრუნდეთ მათემატიკას. ნულის დამატება, გამოკლება და გამრავლება დაუსჯელად შეიძლება. ”მე მოვიმატე ნულოვანი კილოგრამი”, - ეუბნება მანია ანას. ”და ეს საინტერესოა, რადგან მე დავკარგე იგივე წონა”, - პასუხობს ანა. მაშ ასე, ექვსჯერ ვჭამოთ ნაყინი, ეს არ დაგვიშავებს.
ჩვენ არ შეგვიძლია გავყოთ ნულზე, მაგრამ შეგვიძლია გავყოთ ნულზე. ნულოვანი პელმენების თეფში ადვილად შეიძლება დაურიგდეს მათ, ვინც საჭმელს ელოდება. რამდენს მიიღებს თითოეული?
ნული არ არის დადებითი ან უარყოფითი. ეს და ნომერი არაპოზიტიურიи არაუარყოფითი. ის აკმაყოფილებს x≥0 და x≤0 უტოლობას. წინააღმდეგობა „რაღაც დადებითი“ არ არის „რაღაც უარყოფითი“, არამედ „რაღაც უარყოფითი ან ნულის ტოლი“. მათემატიკოსები, ენის წესების საწინააღმდეგოდ, ყოველთვის იტყვიან, რომ რაღაც არის "ნულის ტოლი" და არა "ნული". ამ პრაქტიკის გასამართლებლად გვაქვს: თუ წავიკითხავთ ფორმულას x = 0 "x უდრის ნულს", მაშინ x = 1 ვკითხულობთ "x უდრის ერთს", რომელიც შეიძლება გადაყლაპოს, მაგრამ რაც შეეხება "x = 1534267" ? თქვენ ასევე არ შეგიძლიათ რიცხვითი მნიშვნელობა მიანიჭოთ სიმბოლოს 00არც ნულის აწევა უარყოფით ხარისხზე. მეორე მხრივ, თქვენ შეგიძლიათ დააფუძნოთ ნული სურვილისამებრ... და შედეგი ყოველთვის იქნება ნული.
ექსპონენციალური ფუნქცია y = ax, a-ს დადებითი ფუძე არასოდეს ხდება ნული. აქედან გამომდინარეობს, რომ არ არსებობს ნულოვანი ლოგარითმი. მართლაც, a-ს ლოგარითმი b ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს a-ს ლოგარითმის მისაღებად. a = 0-სთვის ასეთი მაჩვენებელი არ არსებობს და ნული არ შეიძლება იყოს ლოგარითმის საფუძველი. თუმცა ნიუტონის სიმბოლოს „მნიშვნელში“ ნული სხვა რამეა. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს კონვენციები არ იწვევს წინააღმდეგობებს.
ყალბი მტკიცებულება
ნულზე გაყოფა ჩვეულებრივი საგანია ცრუ მტკიცებულებებისთვის და ეს ხდება გამოცდილ მათემატიკოსებსაც კი. ნება მომეცით მოგცეთ ორი ჩემი საყვარელი მაგალითი. პირველი არის ალგებრული. მე „დავმტკიცებ“, რომ ყველა რიცხვი ტოლია. დავუშვათ, რომ არსებობს ორი არატოლი რიცხვი. მაშასადამე, ერთი მათგანი მეორეზე დიდია, მოდით a > b. დავუშვათ, რომ c არის მათი განსხვავება
c \uXNUMXd a - b. ასე რომ, გვაქვს a - b = c, საიდანაც a = b + c.
ამ უკანასკნელის ორივე ნაწილს ვამრავლებთ a - b-ზე:
a2 – ab = ab + ac – b2 – ძვ.
ak-ს ვთარგმნი მარცხენა მხარეს, რა თქმა უნდა მახსოვს ნიშნის შეცვლა:
a2 – ab – ac = ab – b2 – ძვ.
გამოვრიცხავ საერთო ფაქტორებს:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
ვაზიარებ და მაქვს ის რაც მინდოდა:
a = b.
და რეალურად კიდევ უფრო უცნაური, რადგან ვივარაუდე, რომ a > b, და მივიღე, რომ a = b. თუ ზემოთ მოცემულ მაგალითში "მოტყუება" ადვილი ამოსაცნობია, მაშინ ქვემოთ მოცემულ გეომეტრიულ მტკიცებულებაში ეს არც ისე ადვილია. მე დავამტკიცებ, რომ ... ტრაპეცია არ არსებობს. ფიგურა, რომელსაც ჩვეულებრივ ტრაპეციას უწოდებენ, არ არსებობს.
მაგრამ ჯერ დავუშვათ, რომ არსებობს ტრაპეცია (ABCD ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში). მას აქვს ორი პარალელური გვერდი („ბაზები“). გავაწელოთ ეს ფუძეები, როგორც სურათზეა ნაჩვენები ისე, რომ მივიღოთ პარალელოგრამი. მისი დიაგონალები ყოფს ტრაპეციის სხვა დიაგონალს სეგმენტებად, რომელთა სიგრძე აღინიშნება x, y, z, როგორც 1 ნახაზი. შესაბამისი სამკუთხედების მსგავსებიდან ვიღებთ პროპორციებს:
სადაც განვსაზღვრავთ:
ორაზი
სადაც განვსაზღვრავთ:
გამოვაკლოთ ვარსკვლავით მონიშნული ტოლობის გვერდები:
ორივე მხარის შემცირებით x − z-ით, მივიღებთ – a/b = 1, რაც ნიშნავს, რომ a + b = 0. მაგრამ რიცხვები a, b არის ტრაპეციის ფუძეების სიგრძეები. თუ მათი ჯამი ნულია, მაშინ ისინიც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ტრაპეციის მსგავსი ფიგურა ვერ იარსებებს! და რადგან მართკუთხედები, რომბები და კვადრატები ასევე ტრაპეციაა, მაშინ, ძვირფასო მკითხველო, არ არსებობს რომბები, მართკუთხედები და კვადრატები ...
გამოიცანით გამოიცანით
ინფორმაციის გაზიარება ოთხი ძირითადი აქტივობიდან ყველაზე საინტერესო და რთულია. აქ პირველად ვხვდებით ზრდასრულ ასაკში ასე გავრცელებულ ფენომენს: „გამოიცანი პასუხი და შემდეგ შეამოწმე სწორად გამოიცანი თუ არა“. ეს ძალიან სწორად არის გამოხატული დენიელ კ. დენეტის მიერ („როგორ დავუშვათ შეცდომები?“, წიგნში „როგორ არის – სამყაროს სამეცნიერო გზამკვლევი“, CiS, ვარშავა, 1997 წ.):
„გამოცნობის“ ეს მეთოდი ჩვენს ზრდასრულ ცხოვრებას არ ერევა – ალბათ იმიტომ, რომ ადრე ვისწავლით და გამოცნობა არ არის რთული. იდეოლოგიურად იგივე ფენომენი გვხვდება, მაგალითად, მათემატიკური (სრული) ინდუქციის დროს. იმავე ადგილას ჩვენ „გამოვიცნობთ“ ფორმულას და შემდეგ ვამოწმებთ არის თუ არა ჩვენი ვარაუდი სწორი. სტუდენტები ყოველთვის ეკითხებიან: „როგორ ვიცოდით ნიმუში? როგორ შეიძლება მისი ამოღება?" როცა სტუდენტები ამ კითხვას მაძლევენ, მათ კითხვას ხუმრობად ვაქცევ: „ეს ვიცი, რადგან პროფესიონალი ვარ, იმიტომ რომ ფულს ვიღებ, რომ ვიცოდე“. სკოლაში მოსწავლეებს შეიძლება უპასუხონ იმავე სტილში, მხოლოდ უფრო სერიოზულად.
სავარჯიშო. გაითვალისწინეთ, რომ შეკრებას და წერილობით გამრავლებას ვიწყებთ ყველაზე დაბალი ერთეულით, ხოლო გაყოფას უმაღლესი ერთეულით.
ორი იდეის კომბინაცია
მათემატიკის მასწავლებლები ყოველთვის აღნიშნავდნენ, რომ რასაც ჩვენ ზრდასრულთა განცალკევებას ვუწოდებთ არის ორი კონცეპტუალურად განსხვავებული იდეის გაერთიანება: საცხოვრებელი i განცალკევება.
Პირველი (საცხოვრებელი) ხდება ამოცანებში, სადაც არქეტიპია:
გაყოფა-გაყოფა ეს არის დავალებები, როგორიცაა:
? (ჩვენ შევინარჩუნეთ ამ პრობლემის ორიგინალური სტილი, აღებული 1892 წელს კრაკოვში გამოქვეყნებული ჯულიან ზგოზალევიჩის სახელმძღვანელოდან - ზლოტი არის რენული ზლოტი, ვალუტა, რომელიც მიმოქცევაში იყო ავსტრო-უნგრეთის იმპერიაში XNUMX საუკუნის დასაწყისამდე).
ახლა განიხილეთ ორი პრობლემა მათემატიკის უძველესი სახელმძღვანელო პოლონურ ენაზე, მამა ტომაშ კლოსი (1538 წ.). დივიზიონია თუ კუპე? გადაჭრით ის ისე, როგორც XNUMX საუკუნის სკოლის მოსწავლეებმა უნდა:
(პოლონურიდან პოლონურ თარგმანი: კასრში არის კვართი და ოთხი ქვაბი. ქოთანი ოთხი ლიტრია. ვიღაცამ იყიდა 20 ბარელი ღვინო 50 ლარად ვაჭრობისთვის. გადასახადი და გადასახადი (აქციზი?) იქნება 8 zł. გაყიდე კვართი 8 ლარის მოსაპოვებლად?)
სპორტი, ფიზიკა, კონგრუენცია
ხანდახან სპორტში რაღაც უნდა გაყო ნულზე (გოლების თანაფარდობა). ისე, მოსამართლეები როგორღაც უმკლავდებიან ამას. თუმცა, აბსტრაქტულ ალგებრაში ისინი დღის წესრიგში არიან. არანულოვანი რაოდენობებირომლის კვადრატი ნულია. მისი მარტივად ახსნაც კი შეიძლება.
განვიხილოთ ფუნქცია F, რომელიც აკავშირებს წერტილს (y, 0) სიბრტყის წერტილთან (x, y). რა არის F2, ანუ F-ის ორმაგი აღსრულება? ნულოვანი ფუნქცია - თითოეულ წერტილს აქვს გამოსახულება (0,0).
დაბოლოს, ნულოვანი სიდიდეები, რომელთა კვადრატი 0-ია, თითქმის ყოველდღიური პურია ფიზიკოსებისთვის და a + bε ფორმის რიცხვები, სადაც ε ≠ 0, მაგრამ ε.2 = 0, მათემატიკოსები ეძახიან ორმაგი რიცხვები. ისინი გვხვდება მათემატიკური ანალიზში და დიფერენციალურ გეომეტრიაში.
ბოლოს და ბოლოს, არის რაღაც არითმეტიკაში, რომელსაც აქვს ნულზე გაყოფა სულ მცირე სახელში. ის მოდის თანხვედრა. მოდით Z აღვნიშნოთ მთელი რიცხვების სიმრავლე. Z სიმრავლის p-ზე გაყოფა ნიშნავს, რომ თითოეულ რიცხვს (მთელ რიცხვს) ვუტოლებთ ზოგიერთ სხვას, კერძოდ, მათ, რომლებზეც მათი განსხვავება იყოფა. ასე რომ, როდესაც გვაქვს ხუთი ტიპის რიცხვი, რომლებიც შეესაბამება რიცხვებს 0, 1, 2, 3, 4 - შესაძლო ნაშთები 5-ზე გაყოფისას. ფორმულა ასე იწერება:
mod როდესაც განსხვავება მრავალჯერადია.
= 2-ისთვის გვაქვს მხოლოდ ორი რიცხვი: 0 და 1. მთელი რიცხვების ორ ასეთ კლასად დაყოფა უდრის მათ ლუწად და კენტებად დაყოფას. ახლავე შევცვალოთ. სხვაობა ყოველთვის იყოფა 1-ზე (ნებისმიერი მთელი რიცხვი იყოფა 1-ზე). შესაძლებელია თუ არა 0-ის აღება? ვცადოთ: როდის არის ორი რიცხვის სხვაობა ნულის ჯერადი? მხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს ორი რიცხვი ტოლია. ასე რომ, მთელი რიცხვების სიმრავლის ნულზე გაყოფა აზრიანია, მაგრამ ეს არ არის საინტერესო: არაფერი ხდება. თუმცა, ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ეს არ არის რიცხვების დაყოფა დაწყებითი სკოლიდან ცნობილი გაგებით.
ასეთი ქმედებები უბრალოდ აკრძალულია, ისევე როგორც გრძელი და ფართო მათემატიკა.
ბრინჯი. 2. რიცხვების ამოცნობა შედარების გამოყენებით
(რეჟიმები 5 და რეჟიმი 2)
