კორონავირუსი და მათემატიკური განათლება - ნაწილობრივ შეკვეთილი კოლექციები

ვირუსი, რომელიც დაგვხვდა, განაპირობებს სწრაფ საგანმანათლებლო რეფორმას. განსაკუთრებით განათლების უმაღლეს საფეხურებზე. ამ თემაზე შეგიძლიათ დაწეროთ უფრო გრძელი ესსე, აუცილებლად იქნება სადოქტორო დისერტაციების ნაკადი დისტანციური სწავლების მეთოდოლოგიაზე. გარკვეული თვალსაზრისით, ეს არის დაბრუნება ფესვებთან და თვითშესწავლის დავიწყებულ ჩვევებთან. ასე იყო, მაგალითად, კრემენეცის საშუალო სკოლაში (კრემენეცში, ახლა უკრაინაში, რომელიც არსებობდა 1805-31 წლებში, მცენარეული იყო 1914 წლამდე და განიცადა თავისი აყვავება 1922-1939 წლებში). მოსწავლეები იქ დამოუკიდებლად სწავლობდნენ - მხოლოდ სწავლის შემდეგ შემოდიოდნენ მასწავლებლები შესწორებებით, საბოლოო დაზუსტებით, რთულ ადგილებში დახმარება და ა.შ. ე. სტუდენტი რომ გავხდი, ისიც თქვეს, ცოდნა თავად უნდა შევიძინოთო, მხოლოდ უნივერსიტეტში გაკვეთილების შეკვეთა და გაგზავნაო. მაგრამ მაშინ ეს მხოლოდ თეორია იყო...

2020 წლის გაზაფხულზე, მე არ ვარ ერთადერთი, ვინც აღმოვაჩინე, რომ გაკვეთილები (მათ შორის, ლექციები, სავარჯიშოები და ა.შ.) შეიძლება ძალიან ეფექტურად ჩატარდეს დისტანციურად (Google Meet, Microsoft Teams და ა.შ.), დიდი შრომის ფასად. მასწავლებლის მხრიდან და უბრალოდ სურვილი „განათლების მიღება“ მეორე მხრივ; მაგრამ ასევე გარკვეული კომფორტით: ვზივარ სახლში, ჩემს სავარძელში და ტრადიციულ ლექციებზე, სტუდენტები ასევე ხშირად აკეთებდნენ სხვა რამეს. ასეთი ტრენინგის ეფექტი შეიძლება კიდევ უფრო უკეთესი იყოს, ვიდრე ტრადიციული, შუა საუკუნეებით დათარიღებული, კლას-გაკვეთილის სისტემა. რა დარჩება მისგან, როცა ვირუსი ჯოჯოხეთში წავა? ვფიქრობ… საკმაოდ ბევრი. მაგრამ ჩვენ ვნახავთ.

დღეს ვისაუბრებ ნაწილობრივ შეკვეთილ კომპლექტებზე. Ეს მარტივია. ვინაიდან ბინარულ მიმართებას არა ცარიელი სიმრავლეში X ეწოდება ნაწილობრივი რიგის მიმართება, როდესაც არსებობს

(ტადეუშ კოტარბინსკი, 1886-1981, ფილოსოფოსი,

პოლონეთის მეცნიერებათა აკადემიის პრეზიდენტი 1957–1962 წლებში).

1. რეფლექსური, ანუ თითოეული ∈ არის ",
2. გამვლელი, ე.ი. თუ ", და ", მაშინ ",
3. ნახევრად ასიმეტრიული, ე.ი. ("∧")→ =

სტრიქონი არის ნაკრები შემდეგი თვისებით: ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის ეს სიმრავლე არის ან "ან y". ანტიჯეინი არის...

გაჩერდი, გაჩერდი! ამის გაგება შესაძლებელია? რა თქმა უნდა არის. მაგრამ რომელიმე მკითხველმა (სხვაგვარად იცის) უკვე გაიგო რა არის აქ?

არა მგონია! და ეს არის მათემატიკის სწავლების კანონი. ასევე სკოლაში. ჯერ წესიერი, მკაცრი განსაზღვრება და მერე, ვისაც მოწყენილობისგან არ ჩაეძინა, აუცილებლად გაიგებს რაღაცას. ეს მეთოდი მათემატიკის „დიდებულმა“ მასწავლებლებმა დააწესეს. ის უნდა იყოს ფრთხილად და მკაცრი. მართალია, საბოლოოდ ასეც უნდა იყოს. მათემატიკა უნდა იყოს ზუსტი მეცნიერება (იხილეთ ასევე: ).

უნდა ვაღიარო, რომ უნივერსიტეტში, სადაც ვარშავის უნივერსიტეტში პენსიაზე გასვლის შემდეგ ვმუშაობ, ამდენი წელიც ვასწავლიდი. მხოლოდ მასში იყო ცნობილი ვედრო ცივი წყალი (ასე დარჩეს: ვედრო იყო საჭირო!). უეცრად მაღალი აბსტრაქცია მსუბუქი და სასიამოვნო გახდა. მიაქციეთ ყურადღება: ადვილი არ ნიშნავს მარტივს. მსუბუქ მოკრივესაც უჭირს.

ჩემს მოგონებებზე მეღიმება. მათემატიკის საფუძვლებს მასწავლიდა ფაკულტეტის მაშინდელი დეკანი, პირველი კლასის მათემატიკოსი, რომელიც ახლახან იყო ჩამოსული ამერიკის შეერთებულ შტატებში ხანგრძლივი ყოფნიდან, რაც იმ დროს თავისთავად არაჩვეულებრივი იყო. ვფიქრობ, ცოტა სნობი იყო, როცა პოლონური ცოტათი დაავიწყდა. მან ბოროტად გამოიყენა ძველი პოლონური "რა", "მაშასადამე", "აზალეა" და დაამკვიდრა ტერმინი: "ნახევრად ასიმეტრიული ურთიერთობა". მე მიყვარს მისი გამოყენება, ის ნამდვილად ზუსტია. Მე მომწონს. მაგრამ ამას სტუდენტებისგან არ ვითხოვ. ამას ჩვეულებრივ უწოდებენ "დაბალ ანტისიმეტრიას". ათი ლამაზი.

დიდი ხნის წინ, რადგან სამოცდაათიან წლებში (გასული საუკუნის) მოხდა მათემატიკის სწავლების დიდი, სასიხარულო რეფორმა. ეს დაემთხვა ედუარდ გიერეკის მეფობის ხანმოკლე პერიოდის დაწყებას - ჩვენი ქვეყნის გარკვეულ გახსნას მსოფლიოსთვის. "ბავშვებს ასევე შეუძლიათ ასწავლონ უმაღლესი მათემატიკა", - წამოიძახეს დიდი მასწავლებლები. ბავშვებისთვის შედგენილია უნივერსიტეტის ლექციის „მათემატიკის საფუძვლების“ რეზიუმე. ეს იყო ტენდენცია არა მხოლოდ პოლონეთში, არამედ მთელ ევროპაში. განტოლების ამოხსნა საკმარისი არ იყო, ყველა დეტალი უნდა აეხსნა. იმისათვის, რომ არ იყოს უსაფუძვლო, თითოეულ მკითხველს შეუძლია ამოხსნას განტოლებათა სისტემა:

მაგრამ მოსწავლეებს უნდა გაემართლებინათ თითოეული ნაბიჯი, მიემართათ შესაბამისი განცხადებები და ა.შ. ეს იყო ფორმის კლასიკური გადამეტება შინაარსზე. ახლა ჩემთვის ადვილია კრიტიკა. მეც ერთხელ ვიყავი ამ მიდგომის მომხრე. ეს ამაღელვებელია... მათემატიკით გატაცებული ახალგაზრდებისთვის. ეს, რა თქმა უნდა, იყო (და, ყურადღებისთვის, მე).

მაგრამ საკმარისია გადახვევა, მოდით საქმეს შევეშვათ: ლექცია, რომელიც "თეორიულად" იყო განკუთვნილი პოლიტექნიკის მეორე კურსის სტუდენტებისთვის და რომ არა ის, ქოქოსის ფანტელივით მშრალი იქნებოდა. ცოტა ვაჭარბებ...

დილა მშვიდობისა შენთვის. დღევანდელი თემაა ნაწილობრივი გაწმენდა. არა, ეს არ არის უყურადღებო გაწმენდის მინიშნება. საუკეთესო შედარება იქნება იმის გათვალისწინება, რომელია უკეთესი: პომიდვრის წვნიანი თუ ნაღების ნამცხვარი. პასუხი ნათელია: იმის მიხედვით თუ რა. დესერტად - ფუნთუშები, ხოლო მკვებავი კერძისთვის: წვნიანი.

მათემატიკაში საქმე გვაქვს რიცხვებთან. ისინი დალაგებულია: ისინი უფრო და უფრო მცირეა, მაგრამ ორი განსხვავებული რიცხვიდან, ერთი ყოველთვის ნაკლებია, რაც ნიშნავს, რომ მეორე უფრო დიდია. ისინი დალაგებულია თანმიმდევრობით, როგორც ასოები ანბანში. საკლასო ჟურნალში წესრიგი შეიძლება იყოს შემდეგი: ადამჩიკი, ბაგინსკაია, ხოინიცკი, დერკოვსკი, ელგეტი, ფილიპოვი, გჟეჩნიკი, ხოლნიცკი (ისინი ჩემი კლასის მეგობრები და კლასელები არიან!). ასევე ეჭვი არ გვეპარება, რომ მატუსიაკ „მატუშელიანსკი“ მათუშევსკი „მატისიაკი. სიმბოლოს "ორმაგი უთანასწორობა" აქვს მნიშვნელობა "ადრე".

ჩემს ტურისტულ კლუბში ვცდილობთ სიები ანბანურად გავხადოთ, მაგრამ სახელით, მაგალითად, ალინა ვრონსკა "ვარვარა კაჩარსკა", ცეზარ ბუშიცი და ა.შ. ოფიციალურ ჩანაწერებში თანმიმდევრობა შეიცვლება. მათემატიკოსები ანბანურ წესრიგს ლექსიკოგრაფიულად მოიხსენიებენ (ლექსიკონი მეტ-ნაკლებად ლექსიკონს ჰგავს). მეორე მხრივ, ასეთი წესრიგი, რომელშიც ორი ნაწილისგან შემდგარ სახელში (მიხალ შურეკი, ალინა ვრონსკა, სტანისლავ სმჟინსკი) ჯერ მეორე ნაწილს ვუყურებთ, მათემატიკოსთა ანტილექსიკოგრაფიული ორდერია. გრძელი სათაურები, მაგრამ ძალიან მარტივი შინაარსი.

1. ხაზოვანი წესრიგი: სადგურები და გაჩერებები ჰაბოვკა-ზაკოპანე რკინიგზაზე პოდალედან, აშენდა 1899 წელს (აბრევიატურების გაშიფვრას ვუტოვებ მკითხველს).

ყველა ასეთ შეკვეთას ხაზის შეკვეთებს უწოდებენ. რიგრიგობით ვუკვეთავთ: პირველი, მეორე, მესამე. ყველაფერი რიგზეა, პირველი პუნქტიდან ბოლომდე. ყოველთვის არ აქვს აზრი. ბიბლიოთეკაში ხომ წიგნებს ვაწყობთ არა ასე, არამედ სექციებად. მხოლოდ განყოფილების შიგნით ვაწყობთ ხაზობრივად (ჩვეულებრივ ანბანურად).

2. ხაზოვანი თანმიმდევრობა: მანქანის ძრავის გაშვებისას მოქმედებებს ვასრულებთ თანმიმდევრული თანმიმდევრობით.

უფრო დიდი პროექტებით, განსაკუთრებით გუნდურ მუშაობაში, ჩვენ აღარ გვაქვს ხაზოვანი წესრიგი. მოდით შევხედოთ ნახ. 3. ჩვენ გვინდა ავაშენოთ პატარა სასტუმრო. ფული უკვე გვაქვს (უჯრედი 0). ვაფორმებთ ნებართვებს, ვაგროვებთ მასალებს, ვიწყებთ მშენებლობას და ამავდროულად ვატარებთ სარეკლამო კამპანიას, ვეძებთ თანამშრომლებს და ა.შ. როცა „10“-ს მივაღწევთ, პირველ სტუმრებს შეუძლიათ დარეგისტრირება (მაგალითი მისტერ დომბროვსკის და მათი პატარა სასტუმროს ისტორიებიდან კრაკოვის გარეუბანში). Ჩვენ გვაქვს არაწრფივი წესრიგი - ზოგიერთი რამ შეიძლება მოხდეს პარალელურად.

ეკონომიკაში გაეცნობით კრიტიკული გზის კონცეფციას. ეს არის მოქმედებების ერთობლიობა, რომელიც უნდა შესრულდეს თანმიმდევრულად (და ამას მათემატიკაში ჯაჭვი ჰქვია, უფრო მეტიც ერთ მომენტში) და რომელსაც ყველაზე მეტი დრო სჭირდება. მშენებლობის დროის შემცირება არის კრიტიკული გზის რეორგანიზაცია. მაგრამ ამაზე მეტი სხვა ლექციებში (შეგახსენებთ, რომ „უნივერსიტეტის ლექციას“ ვკითხულობ). ჩვენ ყურადღებას ვამახვილებთ მათემატიკაზე.

3-ის მსგავს დიაგრამებს ჰასეს დიაგრამები ეწოდება (Helmut Hasse, გერმანელი მათემატიკოსი, 1898–1979). ყველა კომპლექსური ძალისხმევა ამ გზით უნდა დაიგეგმოს. ჩვენ ვხედავთ მოქმედებების თანმიმდევრობას: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. მათემატიკოსები მათ სიმებს უწოდებენ. მთელი იდეა შედგება ოთხი ჯაჭვისგან. ამის საპირისპიროდ, აქტივობის ჯგუფები 1-2-3-4, 5-6-7 და 8-9 ანტიჯაჭვებია. აი რას ეძახიან. ფაქტია, რომ კონკრეტულ ჯგუფში არცერთი მოქმედება არ არის დამოკიდებული წინაზე.

4. ესეც ჰასეს დიაგრამაა.

პოდემი 4 ნახაზი. რა არის შთამბეჭდავი? მაგრამ ეს შეიძლება იყოს მეტრო რუკა რომელიმე ქალაქში! მიწისქვეშა რკინიგზა ყოველთვის დაჯგუფებულია ხაზებად - ისინი არ გადადიან ერთიდან მეორეზე. ხაზები ცალკე ხაზებია. ქალაქ ნახ. 4 არის ღუმელი ხაზი (გახსოვდეთ ეს ღუმელი წერია "boldem" - პოლონურად მას ნახევრად სქელი ჰქვია).

ამ დიაგრამაზე (ნახ. 4) არის მოკლე ყვითელი ABF, ექვსსადგურიანი ACFPS, მწვანე ADGL, ლურჯი DGMRT და ყველაზე გრძელი წითელი. მათემატიკოსი იტყვის: ეს ჰასეს დიაგრამა აქვს ღუმელი ჯაჭვები. წითელ ხაზზეა შვიდი სადგური: AEINRUW. რაც შეეხება ანტიჯაჭვებზე? არიან ისინი შვიდი. მკითხველმა უკვე შეამჩნია, რომ სიტყვა ორმაგად ხაზგასმულია შვიდი.

ანტიჯაჭვის ეს არის სადგურების ისეთი ნაკრები, რომ შეუძლებელია ერთი მათგანიდან მეორეზე გადასვლა გადარიცხვის გარეშე. როცა ცოტას „გავიგებთ“, დავინახავთ შემდეგ ანტიჯაჭვებს: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. გთხოვთ, შეამოწმოთ, მაგალითად, შეუძლებელია BCLTV-ის რომელიმე სადგურიდან სხვა BCTLV-ზე გადასვლა გადარიცხვის გარეშე, უფრო ზუსტად: ქვემოთ ნაჩვენები სადგურზე დაბრუნების გარეშე. რამდენი ანტიჯაჭვი არსებობს? შვიდი. რა ზომაა ყველაზე დიდი? აცხვეთ (ისევ თამამად).

თქვენ წარმოიდგინეთ, სტუდენტებო, რომ ამ რიცხვების დამთხვევა შემთხვევითი არ არის. ის. ეს აღმოაჩინა და დაამტკიცა (ანუ ყოველთვის ასე) 1950 წელს რობერტ პალმერ დილვორტმა (1914–1993, ამერიკელმა მათემატიკოსმა). მთელი ნაკრების დასაფარად საჭირო რიგების რაოდენობა უდრის უდიდესი ანტიჯაჭვის ზომას და პირიქით: ანტიჯაჭვის რაოდენობა უდრის ყველაზე გრძელი ანტიჯაჭვის სიგრძეს. ეს ყოველთვის ასეა ნაწილობრივ მოწესრიგებულ კომპლექტში, ე.ი. ერთი, რომლის ვიზუალიზაციაც შესაძლებელია. ჰასეგოს დიაგრამა. ეს არ არის საკმაოდ მკაცრი და სწორი განმარტება. ამას მათემატიკოსები „სამუშაო განმარტებას“ უწოდებენ. ეს გარკვეულწილად განსხვავდება "სამუშაო განმარტებისგან". ეს არის მინიშნება იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გავიგოთ ნაწილობრივ მოწესრიგებული ნაკრები. ეს არის ნებისმიერი ტრენინგის მნიშვნელოვანი ნაწილი: ნახეთ, როგორ მუშაობს.

ინგლისური აბრევიატურა არის - ეს სიტყვა სლავურ ენებზე ლამაზად ჟღერს, ცოტათი ეკალივით. გაითვალისწინეთ, რომ ეკალი ასევე განშტოებულია.

ძალიან კარგია, მაგრამ ვის სჭირდება? თქვენ, ძვირფასო სტუდენტებო, ეს გჭირდებათ გამოცდის ჩასაბარებლად და ეს ალბათ საკმარისად კარგი მიზეზია მისი შესასწავლად. ვუსმენ, რა კითხვები? მე ვუსმენ, ბატონო, ფანჯრის ქვემოდან. ოჰ, საკითხავია, ეს ოდესმე გამოადგება უფალს თქვენს ცხოვრებაში? შეიძლება არა, მაგრამ შენზე ჭკვიანი ვინმესთვის, რა თქმა უნდა... იქნებ კრიტიკული გზის ანალიზისთვის კომპლექსურ ეკონომიკურ პროექტში?

ამ ტექსტს ივნისის შუა რიცხვებში ვწერ, ვარშავის უნივერსიტეტში რექტორის არჩევნები მიმდინარეობს. ინტერნეტის მომხმარებელთა რამდენიმე კომენტარი წავიკითხე. სიძულვილის (ან „სიძულვილის“) გასაკვირი რაოდენობაა „განათლებული ადამიანების“ მიმართ. ვიღაცამ უხეშად დაწერა, რომ საუნივერსიტეტო განათლების მქონე ადამიანებმა უფრო ნაკლები იციან, ვიდრე საუნივერსიტეტო განათლების მქონეებმა. რა თქმა უნდა, დისკუსიაში არ შევალ. უბრალოდ, ვწუხვარ, რომ პოლონეთის სახალხო რესპუბლიკაში დამკვიდრებული აზრი ბრუნდება, რომ ყველაფერი ჩაქუჩითა და ჭუჭყით შეიძლება. ვუბრუნდები მათემატიკას.

დილუორტის თეორემა აქვს რამდენიმე საინტერესო გამოყენება. ერთ-ერთი მათგანი ცნობილია როგორც ქორწინების თეორემა.ნახ. 6). 

არის ქალების (უფრო მეტად გოგონების) ჯგუფი და კაცების ოდნავ უფრო დიდი ჯგუფი. ყველა გოგო ასე ფიქრობს: „შემეძლო ამზე დავქორწინდე, მეორეზე, მაგრამ ცხოვრებაში მესამეზე არასდროს“. და ასე შემდეგ, ყველას აქვს საკუთარი პრეფერენციები. ჩვენ ვხატავთ დიაგრამას, თითოეულ მათგანს მივყავართ ისარი ბიჭისგან, რომელსაც ის არ უარყოფს, როგორც საკურთხევლის კანდიდატს. კითხვა: შეიძლება თუ არა წყვილების შედარება ისე, რომ თითოეულმა იპოვოს ქმარი, რომელსაც მიიღებს?

ფილიპ ჰოლის თეორემა, ამბობს, რომ ეს შეიძლება გაკეთდეს - გარკვეულ პირობებში, რაზეც აქ არ ვისაუბრებ (შემდეგ ლექციაზე, სტუდენტებო, გთხოვთ). თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ მამაკაცის კმაყოფილება აქ საერთოდ არ არის ნახსენები. მოგეხსენებათ, ქალები გვირჩევენ და არა პირიქით, როგორც გვეჩვენება (შეგახსენებთ, რომ ავტორი ვარ და არა ავტორი).

სერიოზული მათემატიკა. როგორ გამოდის ჰოლის თეორემა დილვორტიდან? ძალიან მარტივია. კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ფიგურას 6. ჯაჭვები იქ ძალიან მოკლეა: მათ აქვთ სიგრძე 2 (მიმართული მიმართულებით). პატარა კაცების ნაკრები არის ჯაჭვის საწინააღმდეგო (ზუსტად იმიტომ, რომ ისრები მხოლოდ მიმართ არის). ამრიგად, მთელი კოლექცია შეგიძლიათ დაფაროთ იმდენი ანტიჯაჭვით, რამდენიც მამაკაცია. ასე რომ, ყველა ქალს ექნება ისარი. და ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება გამოიყურებოდეს როგორც ბიჭი, რომელსაც იღებს!!!

მოიცადე, ვინმე ეკითხება, ეს ყველაფერია? ეს ყველაფერი აპლიკაციაა? ჰორმონები როგორმე ერთმანეთს შეეგუება და რატომ მათემატიკა? ჯერ ერთი, ეს არ არის მთელი აპლიკაცია, არამედ მხოლოდ ერთი დიდი სერიიდან. მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ მათგანს. მოდით (ნახ. 6) იგულისხმოთ არა უკეთესი სქესის წარმომადგენლები, არამედ პროზაული მყიდველები, და ეს არის ბრენდები, მაგალითად, მანქანები, სარეცხი მანქანები, წონის დაკარგვის პროდუქტები, ტურისტული სააგენტოს შეთავაზებები და ა.შ. თითოეულ მყიდველს აქვს ბრენდები, რომლებსაც ის იღებს და უარყოფს. შეიძლება თუ არა რაღაცის გაკეთება ყველასთვის რაღაცის გასაყიდად და როგორ? აქ მთავრდება არა მხოლოდ ხუმრობები, არამედ სტატიის ავტორის ცოდნა ამ თემაზე. მხოლოდ ის ვიცი, რომ ანალიზი საკმაოდ რთულ მათემატიკას ეფუძნება.

მათემატიკის სწავლება სკოლაში არის ალგორითმების სწავლება. ეს სწავლის მნიშვნელოვანი ნაწილია. მაგრამ ნელ-ნელა მივდივართ არა იმდენად მათემატიკის სწავლისკენ, რამდენადაც მათემატიკური მეთოდისკენ. დღევანდელი ლექცია სწორედ ამაზე იყო: ჩვენ ვსაუბრობთ აბსტრაქტულ მენტალურ კონსტრუქციებზე, ვფიქრობთ ყოველდღიურ ცხოვრებაზე. ჩვენ ვსაუბრობთ ჯაჭვებზე და ანტიჯაჭვებზე კომპლექტებში ინვერსიული, გარდამავალი და სხვა მიმართებით, რომლებსაც ვიყენებთ გამყიდველ-მყიდველის მოდელებში. ყველა გამოთვლას ჩვენთვის კომპიუტერი გააკეთებს. ის ჯერ არ შექმნის მათემატიკურ მოდელებს. ჩვენ მაინც ვიმარჯვებთ ჩვენი აზროვნებით. ყოველ შემთხვევაში, იმედია რაც შეიძლება დიდხანს!